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1 82652 _ qxd 27/4/07 1:20 Página 275 Polinomios INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de ahí la importancia de comprender el concepto de polinomio y otros asociados a él, como son: grado del polinomio, término independiente, polinomio reducido, polinomio completo, polinomio opuesto y valor numérico Después de comprender y practicar cada uno de estos conceptos se estudiará cómo operar con polinomios: sumar, restar, multiplicar y dividir, aplicando el método más adecuado en cada caso. En las operaciones con polinomios, las mayores dificultades pueden surgir en la multiplicación (en la colocación correcta de los términos de cada grado) y en la división (en la determinación de cada término del cociente y en la resta de los productos obtenidos). Es importante que los alumnos aprendan a deducir por sí mismos el desarrollo de las fórmulas de las igualdades notables: cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia y producto de una suma por una diferencia. RESUMEN DE LA UNIDAD Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de varios monomios, que son los términos del polinomio. El grado de un polinomio reducido es el del término de mayor grado. El valor numérico de un polinomio, para cierto valor de la variable x = a, se obtiene sustituyendo x por a y operando. La suma de dos polinomios se calcula sumando los términos semejantes de ambos. La resta de dos polinomios se calcula sumando al primero el opuesto del segundo. El producto de dos polinomios se calcula multiplicando cada uno de los monomios de uno de ellos por todos los monomios del otro, y sumando después los polinomios obtenidos. División de polinomios: P(x) = Q(x) C(x) + R(x) Igualdades notables: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) (a b) = a 2 b 2 OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 1. Reconocer el grado, el término y los coeficientes Grado, término independiente y coeficientes Polinomio ordenado. Polinomio reducido. Polinomio completo. Identificación del grado, el término independiente y los coeficientes Redución de polinomios. Ordenación de los términos Distinción de polinomios completos e incompletos. 2. Determinar el valor numérico. Realizar sumas y restas con polinomios. 4. Realizar multiplicaciones con polinomios. 5. Realizar divisiones con polinomios. Valor numérico Suma y resta de polinomios. Multiplicación de polinomios. División de polinomios: dividendo, divisor, cociente y resto. Cálculo del valor numérico Suma y resta de polinomios. Multiplicación de polinomios: aplicar la propiedad distributiva. División de polinomios: divisiones enteras o exactas. Comprobación de las divisiones. ADAPTACIÓN CURRICULAR 6. Identificar y desarrollar igualdades notables. Cuadrado de una suma. Cuadrado de una diferencia. Producto de una suma por una diferencia. Identificación y desarrollo de igualdades notables. MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 275

2 82652 _ qxd 27/4/07 1:20 Página 276 OBJETIVO 1 RECONOCER EL GRADO, EL TÉRMINO Y LOS COEICIENTES DE UN POLINOMIO NOMBRE: CURSO: ECHA: Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de monomios, que son los términos del polinomio. Un polinomio es reducido cuando no tiene monomios semejantes. El grado de un polinomio reducido coincide con el grado de su término de mayor grado. Un polinomio es completo cuando tiene términos de todos los grados inferiores al grado del polinomio. En caso contrario, es incompleto. Dado el polinomio P(x) = 5x 2 x + 2x + 1 : a) Obtén el polinomio reducido. b) Determina el grado del polinomio. c) Cuántos términos tiene el polinomio? Cuál es su término independiente? d) Es un polinomio completo? Si el polinomio es incompleto, di qué término falta. a) Para reducir un polinomio hay que resolver las operaciones que se puedan: 678 P(x) = 5x 2 x + 2x + 1 = P(x) = 5x 2 x Polinomio reducido b) El grado del polinomio es 2: P(x) = 5x 2 x 2. c) El polinomio tiene tres términos y 2 es el término independiente. P(x) = 5x 2 x 2 2 es el término independiente. Tiene tres términos. d) P(x) = 5x 2 x 2 es un polinomio completo. Grado Es Q(x) = 7x + 2x 2 + un polinomio completo o incompleto? Q(x) = 7x + 2x 2 + Es un polinomio incompleto, pues no tiene término de grado 1. Grado Calcula el polinomio reducido. a) P(x) = 4 x 2 + x x b) P(x) = x 4 4 x 2 + x x x 4 x 276 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

3 82652 _ qxd 7/5/07 10:4 Página Calcula el polinomio reducido y ordena sus términos de mayor a menor grado. P(x) = x 5 2x 4 + x + 4x 4 x + 2x P(x) = Tiene... términos. El término independiente es... El grado del polinomio es... Cómo es el polinomio, completo o incompleto?... Reduce el polinomio y ordena sus términos de mayor a menor grado. P(x) = x 2x x + x 2 2x P(x) = Tiene... términos. El término independiente es... El grado del polinomio es... Cómo es el polinomio, completo o incompleto?... 4 Señala si los siguientes polinomios son completos o incompletos. Completa la tabla. POLINOMIO COMPLETO INCOMPLETO ALTA EL TÉRMINO P(x) = 4x 2 + 5x 2 Q(x) = 2x R(x) = 10x 2 20x + 40 S(x) = 40 T(x) = x + x Dado el polinomio Q(x) = 2x 5 + x 2 x, indica. a) Si es o no ordenado. b) Si es o no reducido. c) Si es o no completo. d) Su grado. e) Su término independiente. ADAPTACIÓN CURRICULAR MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 277

4 82652 _ qxd 27/4/07 1:20 Página 278 OBJETIVO 2 DETERMINAR EL VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO NOMBRE: CURSO: ECHA: El valor numérico de un polinomio P(x), para cierto valor de la variable x = a, se obtiene sustituyendo x por a y operando. En un polinomio, por ejemplo, P(x) = 2x 2 + 1, se puede dar cualquier valor a la x. Para x = 2 P(2) = 2 (2) = = = 9 El valor numérico del polinomio para x = 2 es 9. Para x = 10 P(10) = 2 (10) = = = 201 El valor numérico del polinomio para x = 10 es Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para x = 1. a) P(x) = x + 1 x = 1 P( ) = ( ) + 1 b) P(x) = x c) P(x) = x + 1 d) P(x) = x Calcula el valor numérico de cada polinomio para el valor de la variable indicado. a) A(x) = x + 1, para x = 1. b) B(x) = 4x 5 6x 2 +, para x = 1. c) C(x) = 9x 4 + 7x 2 + 5, para x = 1. d) D(x) = x + x 2 + x + 2, para x = MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

5 82652 _ qxd 27/4/07 1:20 Página 279 OBJETIVO REALIZAR SUMAS Y RESTAS CON POLINOMIOS NOMBRE: CURSO: ECHA: La suma de dos polinomios se calcula sumando los términos semejantes de ambos. La resta de dos polinomios se obtiene sumando el primero con el polinomio opuesto del segundo. Recuerda que la regla básica de las sumas y restas de polinomios es que solo se pueden sumar y restar los términos semejantes. Suma los siguientes polinomios: P(x) = x 2x 2 + 5x y Q(x) = 4x 2 x + 2. Se puede realizar de dos maneras: En línea: solo se suman los elementos iguales. P(x) + Q(x) = x 2x 2 + 5x + 4x 2 x + 2 = x + 2x 2 + 2x 1 P(x) + Q(x) = x + 2x 2 + 2x 1 En columna: hay que poner en columna los términos semejantes. P(x) = x 2x 2 + 5x + Q(x) = 4x 2 x + 2 P(x) + Q(x) = x + 2x 2 + 2x 1 Resta los siguientes polinomios: P(x) = x 5x y Q(x) = 5x 2 2x + 7. Se puede realizar de dos maneras: En línea: el signo negativo delante del paréntesis afecta a todos los términos. P(x) Q(x) = x 5x (5x 2 2x + 7) = = x 5x x 2 + 2x 7 = x 10x 2 + 2x 2 P(x) Q(x) = x 10x 2 + 2x 2 1 En columna: hay que poner en columna los términos semejantes. P(x) = x 5x 2 + 2x + 5 Q(x) = (5x 2 2x + 7) P(x) Q (x) = x 10x 2 + 2x 2 Dados los polinomios P(x) = x 2x + 1 y Q(x) = x 2 x + 2, halla P(x) + Q(x) y P(x) Q(x), resolviendo las operaciones en línea y en columna. ADAPTACIÓN CURRICULAR MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 279

6 82652 _ qxd 27/4/07 1:20 Página Calcula la suma y resta de cada par de polinomios. a) P(x) = x + 2x 2 x 4 Q(x) = x x 2 9x + P(x) = P(x) = + Q(x) = Q(x) = P(x) + Q(x) = P(x) Q(x) = b) P(x) = x 7 8x 4 + Q(x) = x 5 + x 6 P(x) = P(x) = + Q(x) = Q(x) = P(x) + Q(x) = P(x) Q(x) = c) P(x) = 10x 4 + x Q(x) = x 5 +7x 2 x P(x) = P(x) = + Q(x) = Q(x) = P(x) + Q(x) = P(x) Q(x) = d) P(x) = x 4 x 2 Q(x) = x 4 2x x 5 P(x) = P(x) = + Q(x) = Q(x) = P(x) + Q(x) = P(x) Q(x) = e) P(x) = x 2x 2 2 Q(x) = 6x 4 x x + 7 P(x) = P(x) = + Q(x) = Q(x) = P(x) + Q(x) = P(x) Q(x) = 280 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

7 82652 _ qxd 27/4/07 1:20 Página 281 OBJETIVO 4 REALIZAR MULTIPLICACIONES CON POLINOMIOS NOMBRE: CURSO: ECHA: El producto de dos polinomios se halla multiplicando cada uno de los monomios de un polinomio por los monomios del otro, y sumando, después, los polinomios obtenidos en esas multiplicaciones. Para multiplicar dos polinomios es necesario aplicar la propiedad distributiva. Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = 7x + 2x 2 + x 7y Q(x) = x 2 +. Vamos a resolverlo multiplicando en línea: P(x) Q(x) = (7x + 2x 2 + x 7) (x 2 + ) = Se multiplican todos los monomios de un polinomio por los monomios del otro polinomio. = 7x x 2 + 7x + 2x 2 x 2 + 2x 2 + x x 2 + x 7 x 2 7 = 7x x + 2x 4 + 6x 2 + x + x 7x 2 21 = = 7x 5 + 2x x x 2 + x 21 P(x) Q(x) = 7x 5 + 2x x x 2 + x 21 Se suman los términos semejantes. 1 Multiplica los siguientes polinomios. a) P(x) = 5x 2 7x + y Q(x) = 2x P(x) Q(x) = (5x 2 7x + ) (2x 2 + 1) Multiplicamos los monomios. P(x) Q(x) = = + = Sumamos los términos semejantes. ADAPTACIÓN CURRICULAR b) P(x) = x 1 y Q(x) = 5x 2 x + 2 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 281

8 82652 _ qxd 27/4/07 1:20 Página 282 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = 7x + 2x 2 + x 7y Q(x) = x 2 +. Resolvemos el ejercicio multiplicando en columna: 7x + 2x 2 + x 7 x x + 6x 2 + x 21 7x 5 + 2x x 7x 2 + x 21 P(x) Q(x) = 7x 5 + 2x x 7x 2 + x 21 Producto de por 7 x + 2 x 2 + x 7 Producto de x 2 por 7 x + 2 x 2 + x 7 Suma de monomios semejantes 2 Multiplica los polinomios: P(x) = 5x 2 x + 4 y Q(x) = x x 2 x + 4 x + 2 P(x) Q(x) = Producto de 2 por 5 x 2 x + 4 Producto de x por 5 x 2 x + 4 Suma de monomios semejantes Calcula el producto del polinomio R(x) = x 1 y el monomio S(x) = x +, utilizando la propiedad distributiva. 4 Halla el producto de los siguientes polinomios. a) R(x) = x 1 y S(x) = x b) R(x) = x 4 x + 1 y S(x) = x MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

9 82652 _ qxd 27/4/07 1:20 Página 28 OBJETIVO 5 REALIZAR DIVISIONES CON POLINOMIOS NOMBRE: CURSO: ECHA: Lo primero que hay que tener en cuenta para dividir los polinomios P(x) y Q(x) es que el grado del polinomio P(x) debe ser mayor o igual que el del polinomio Q(x). En estas condiciones, dados dos polinomios P(x) y Q(x), existen otros dos polinomios C(x) y R(x) que cumplen: P(x) = Q(x) C(x) + R(x) P(x) es el polinomio dividendo. Q(x) es el polinomio divisor. C(x) es el polinomio cociente. R(x) es el polinomio resto. Si el resto de la división es nulo, es decir, si R(x) = 0: La división es exacta. El polinomio P(x) es divisible por Q(x). En caso contrario, se dice que la división no es exacta. Divide los siguientes polinomios: P(x) = 5x + x 2 + 5x 7y Q(x) = x x + x 2 + 5x 7 x Hay que elegir un monomio que multiplicado por x 2 nos dé 5 x : x 2 = 5 x. En este caso, = 5x. 5x + x x 7 x x + x 2 25x 5x + 5x + x 2 20x 72 5x + x x 27 x x + x 2 25x 5x + 5x + x 2 20x 272 5x x 2 20x 152 5x + x 2 20x 22 Multiplicamos 5x por cada uno de los términos del polinomio cociente (x 2 + 5), cambiamos de signo los resultados y los colocamos en su columna. A continuación, sumamos. Hay que buscar un monomio que multiplicado por x 2 nos dé x 2, en este caso. Multiplicamos por x 2 + 5, cambiamos de signo los resultados y los colocamos en su columna. A continuación, sumamos. Hay que buscar un monomio que multiplicado por x 2 nos dé 20x, pero no existe ninguno. Por tanto, la división finaliza. ADAPTACIÓN CURRICULAR Polinomio dividendo: P(x) = 5x + x 2 + 5x 7 Polinomio divisor: Q(x) = x Polinomio cociente: C(x) = 5x + Polinomio resto: R(x) = 20x 22 En este caso, la división no es exacta, ya que el resto obtenido es distinto de cero. MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 28

10 82652 _ qxd 27/4/07 1:20 Página Calcula las divisiones de polinomios y señala si son exactas o enteras. a) P(x) = x 1, Q(x) = x c) P(x) = x 2 1, Q(x) = x + 1 b) P(x) = x 2 5x + 6, Q(x) = x 2 d) P(x) = x x 2 + 2x, Q(x) = x 2 Haz las divisiones y comprueba que P(x) = Q(x) C(x) + R(x). a) P(x) = x 1, Q(x) = x c) P(x) = x 1, Q(x) = x 2 2 b) P(x) = x 1, Q(x) = x + 1 d) P(x) = x + 1, Q(x) = x 284 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

11 82652 _ qxd 27/4/07 1:20 Página 285 OBJETIVO 6 IDENTIICAR Y DESARROLLAR IGUALDADES NOTABLES NOMBRE: CURSO: ECHA: CUADRADO DE UNA SUMA El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Esto se puede hacer como una multiplicación normal: (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a a + a b + a b + b b = a 2 + 2ab + b 2 (x + ) 2 = (x + ) (x + ) = x 2 + x + x + 9 = x 2 + 6x + 9 (4x + y) 2 = (4x + y) (4x + y) = 16x 2 + 4xy + 4xy + y 2 = 16x 2 + 8xy + y 2 1 Desarrolla estas igualdades. a) (x + 2y) 2 = (x + 2y) (x + 2y) = b) (x + ) 2 = c) (2x + y) 2 = d) (4a + b 2 ) 2 = CUADRADO DE UNA DIERENCIA El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Esto se puede hacer como una multiplicación normal: (a b) 2 = (a b) (a b) = a a a b a b + b b = a 2 2ab + b 2 (2y ) 2 = (2y ) (2y ) = 4y 2 6y 6y + 9 = 4y 2 12y + 9 (x 2 2) = (x 2 2) (x 2 2) = x 4 2x 2 2x = x 4 4x ADAPTACIÓN CURRICULAR 2 Desarrolla las siguientes igualdades. a) (6x 4y) 2 = (6x 4y) (6x 4y) = b) (5x 4 2) 2 = c) (2x y) 2 = d) (4x a 2 ) 2 = MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 285

12 82652 _ qxd 27/4/07 1:20 Página 286 PRODUCTO DE UNA SUMA POR UNA DIERENCIA El producto de una suma por una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. (a + b) (a b) = a 2 b 2 Esto se puede hacer como una multiplicación normal: (a + b) 2 (a b) = a a a b + a b + b b = a 2 b 2 (x + 2) (x 2) = 9x 2 6x + 6x 4 = 9x 2 4 (5x y) (5x + y) = 25x xy 15xy 9y 2 = 25x 2 9y 2 Desarrolla las siguientes igualdades. a) (7x + x 4 ) (7x x 4 ) = b) (y + x 2 ) (y x 2 ) = c) (x + x ) (x x ) = d) (a 4 b ) (a 4 + b) = 4 Desarrolla. a) (x + 5) 2 = b) (2y 7) 2 = c) (xy + 2yz) (xy 2yz) = d) (abc + 1) 2 = e) (7 x) 2 = f) (9v + 2z) (9v 2z) = g) (xy + x ) 2 = 5 Desarrolla las igualdades. a) (4x + 2) 2 (5x + 1) (2x ) = b) (x + ) 2 (x 2) 2 = 286 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

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