I E S CARDENAL CISNEROS -- DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PROGRAMACIÓN LINEAL


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1 I E S CARDENAL CISNEROS -- DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PROGRAMACIÓN LINEAL x + y 1 Dada la región del plano definida por las inecuaciones 0 x 3 0 y 2 a) Para qué valores (x, y) de dicha región es máxima la función z = 5x + 2y? b) Para cuales mínima? La función es máxima (mínima) en uno de los vértices de la región. Estos vértices son: (0, 1); (0, 2); (3, 2), (3, 0) y (1, 0). F(0, 1) = = 2 F(0, 2) = = 4 F(3, 2) = = 19 F(3, 0) = = 15 F(1, 0) = = 5 Cómo el valor máximo es 19, se alcanza en el punto (3, 2). Cómo el valor mínimo es 2, se alcanza en el punto (0, 1). Minimizar la función F(x, y) = 3x + 4y sujeta a las restricciones: 2x + 3y 36 2x + 2y 28 8x + 2y 32 La función es mínima en uno de los vértices de la región. Estos vértices son: (0, 16); ( 2 3, 40 3 F(0, 16) = = 64 F( 2 3, 40 3 ) = F(6, 8) = = = F(18, 0) = = 54 ); (6, 8) y (18, 0) Cómo el valor mínimo es 30, la solución es el punto (6, 8)

2 x 0 y 0 Dibujar la región dada por: Maximizar la función F (x, y) = 4x + 3y x + y 10 2y 3x La función es máxima en uno de los vértices de la región. Estos vértices son: (0, 0); (0, 10) y (4, 6) F(0, 0) = = 0 F(0, 10) = = 30 F(4, 6) = = 34. Cómo el valor máximo es 34, la solución es el punto (4, 6) Minimizar la función objetivo F(x, y) = 4x + 5y, cuya región factible es la intersección del primer x y x y cuadrante con las inecuaciones: x y La función es mínima en uno de los vértices de la región. Estos vértices son: (0, 8); (10, 0) y ( 10 8, 3 3 ) F(0, 8) = = 40 F(10, 0) = = 40 F( 10, ) = = Como el valor más pequeño es 26,66 la solución es 3 el punto 10, 8 3 3

3 Maximizar la función objetivo: 0,75 x + y. x + 3y 15 5x + y 20 Restricciones: 3x + 4y 24 x 0 y 0 Es única la solución? La función es máxima en uno de los vértices de la región. Los vértices son: (0, 0); (0, 5); ( 12 5, 21 5 y (4, 0) F(0, 0) = 0, = 0 F(0, 5) = 0, = 5 F( 12 5, 21 5 ) = 0, = 6 F( 56 17, ) = 0, = 6 F(4, 0) = 0, = 3 ); ( 56 17, ) Cómo el valor máximo, 6, se alcanza en dos puntos,, 5 5 y, la función objetivo alcanza su máximo en todos los puntos de esa recta (3x + 4y = 24) comprendida entre los dos vértices es 34. Por tanto la solución NO es única. Representar gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las siguientes inecuaciones: x + 2y 10 x + y 2 x 8 x 0 y 0 Hallar el máximo y mínimo de F(x, y) = x 3y, sujeto a las restricciones representadas por las inecuaciones anteriores. Cómo el valor máximo es 8, se alcanza en el punto (8, 1). Cómo el valor mínimo es 15, se alcanza en el punto (0, 5). La función es máxima (mínima) en uno de los vértices de la región. Estos vértices son: (0, 2); (0, 5); (8, 1), (8, 0) y (2, 0). F(0, 2) = = 6 F(0, 5) = = 15 F(8, 1) = = 5 F(8, 0) = = 8 F(2, 0) = = 2

4 Un artesano fabrica collares y pulseras. Hacer un collar le lleva dos horas y hacer una pulsera una hora. El material de que dispone no le permite hacer más de 50 piezas. Como mucho, el artesano puede dedicar al trabajo 80 horas. Por cada collar gana 10 euros y por cada pulsera 8 euros. Calcular el número de collares y pulseras que debe fabricar para obtener el beneficio máximo. x = nº collares y = nº pulseras La función objetivo es: F (x, y) = 10x + 8y 2x + y 80 x + y 50 x 0 y 0 Los vértices son: (0, 0); (0, 50); (30, 20); y (40, 0) F (0, 0) = = 0 F (0, 50) = = 400 F (30, 20) = = 460 F (40, 0) = = 400 Como el valor máximo es 460 que corresponde al punto (30, 20) la solución es: 30 collares y 20 pulseras.

5 Un centro dedicado a la enseñanza de idiomas tiene dos cursos, uno básico y otro avanzado, para los que dedica distintos recursos. Esta planificación hace que se pueda atender entre 20 y 65 estudiantes del curso básico y entre 20 y 40 estudiantes del curso avanzado. El número máximo de estudiantes que en total se puede atender es de 100. Los beneficios que se obtiene por cada estudiante en el curso básico es de 145 euros y de 150 euros por cada estudiante del curso avanzado. Hallar que número de estudiantes de cada curso proporciona el benéfico máximo. Cuál es dicho beneficio? x = nº estudiantes del curso básico y = nº estudiantes del curso avanzado La función objetivo es: F (x, y) = 145x + 150y 20 x y 40 x + y 100 Los vértices son: (20, 20); (20, 40); (60, 40); (65, 35) y (65, 20) F (20, 20) = = F (20, 40) = = F (60, 40) = = F (65, 35) = = F (65, 20) = = Como el valor máximo es la solución es: 60 estudiantes del curso básico y 40 del avanzado.

6 Una fábrica de coches va a lanzar al mercado dos nuevos modelos (uno básico y otro de lujo). El coste de fabricación del modelo básico es de euros y el de lujo euros, disponiendo para esta operación de lanzamiento euros. Para evitar riesgos se cree conveniente lanzar al menos tantos coches del modelo básico como del modelo de lujo y, en todo caso, no fabricar más de 45 coches del básico. Cuántos coches de cada modelo hay que hacer si se quiere maximizar el número total de coches fabricados? x = nº coches modelo básico y = nº coches modelo de lujo La función objetivo es: F (x, y) = x + y 10000x y x y x 45 x 0 y 0 Los vértices son: (0, 0); (24, 24); (45, 10) y (45,0) F (0, 0) = = 0 F (24, 24) = = 48 F (45, 10) = = 55 F (45, 0) = = 45 Como el valor máximo es 55 que corresponde al punto (45, 10) la solución es: 45 coches del modelo básico y 10 coches del modelo de lujo.

7 Una compañía aérea tiene dos aviones A y B para cubrir determinado trayecto. El avión A debe de hacer más vuelos que el avión B, pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben de hacer más de 60 vuelos, pero no más de 200. En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y B 700 litros. En cada viaje del avión A la empresa gana euros y euros por cada viaje de B. Cuántos viajes debe de hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias? Cuántos vuelos debe de hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo? x = nº vuelos de A y = nº vuelos de B Las funciones objetivo son: G (x, y) = x y; C (x, y) = 900x + 700y x y x x + y 200 x 0 y 0 Los vértices son: (30, 30); (100, 100); (120, 80); (120, 0) y (60, 0) En estos puntos la función objetivo (ganancias) vale: G (30, 30) = = G (100, 100) = = G (120, 80) = = G (120, 0) = = G (60, 0) = = Como el valor máximo es que corresponde al punto (120, 80) la solución es: 120 vuelos de A y 80 vuelos de B. La función objetivo (combustible) vale en los vértices: C (30, 30) = = C (100, 100) = = C (120, 80) = = C (120, 0) = = C (60, 0) = = Como el valor mínimo es que corresponde al punto (30, 30) la solución es: 30 vuelos de A y 30 vuelos de B.

8 En una empresa que se dedica a llevar pizzas a domicilio sus empleados tienen dos tipos de contrato: de media jornada (20 horas de trabajo semanales) y jornada completa (40 horas a la semana). A cada empleado con jornada completa le pagan 9 euros por hora, siendo de 6 euros el precio de la hora de un trabajador a media jornada. Por otra parte, la empresa necesita como máximo 1200 horas de trabajo semanal y, al menos, 25 empleados para poder satisfacer la demanda. Cuántos empleados de cada tipo deberá contratar semanalmente con el fin de minimizar los salarios? x = nº empleados a media jornada y = nº empleados jornada completa La función objetivo es: F (x, y) = (6 20)x + (9 40)y = 120x + 360y 20x + 40y 1200 x + y 25 x 0 y 0 Los vértices son: (25, 0); (0, 25); (0, 30) y (60, 0) F (25, 0) = = F (0, 25) = = F (0, 30) = = F (60, 0) = = Como el valor mínimo es la solución es: 25 empleados a tiempo parcial y ninguno a tiempo total.

9 En un depósito se almacenan bidones de petróleo y de gasolina. Para poder atender a la demanda se han de tener almacenados un mínimo de 10 bidones de petróleo y 20 de gasolina. Siempre debe haber más bidones de gasolina que de petróleo, siendo la capacidad del depósito de 200 bidones. Por cuestiones comerciales deben mantenerse en inventario al menos 60 bidones. El gasto de almacenaje de un bidón de petróleo es de 2 euros y el de uno de gasolina 3 euros. Se desea saber cuantos bidones de cada clase han de almacenarse para que el gasto de almacenamiento sea mínimo. Cuál es dicho gasto? x = nº bidones de petróleo y = nº bidones de gasolina La función objetivo es: F (x, y) = 2x + 3y x 10 y 20 y x 60 x + y 200 Los vértices son: (10, 50); (10, 190); (100, 100) y (30, 30) F (10, 50) = = 170 F (10, 190) = = 590 F (100, 100) = = 500 F (30, 30) = = 150 Como el valor mínimo es 80 la solución es: 30 bidones de petróleo y 30 de gasolina. El coste es de 150 euros.

10 Un ganadero quiere invertir un máximo de euros en la compra de reses. La compra la realiza a una granja que tiene dos razas diferentes A y B y que le impone las condiciones de adquirir al menos 12 reses y, al menos, 4 reses más de la B que de la A. Las reses de la raza A cuestan euros, mientras que las de la raza B cuestan euros. Si las de raza A producen el doble de leche que las de B, cuántas reses de cada raza debe adquirir para maximizar la producción de leche? x = nº reses raza A y = nº reses raza B La función objetivo es: F (x, y) = 2x + y x + y 12 y x x y x 0 y 0 Los vértices son: (0, 12); (0, 24); (8, 12); y (4, 8) F (0, 12) = = 12 F (0, 24) = = 24 F (8, 12) = = 28 F (4, 8) = = 16 Como el valor máximo es 28 que corresponde al punto (8, 12) la solución es: 8 reses de la raza A y 12 de la raza B.

11 Un tren de mercancías puede arrastrar, como máximo, 27 vagones. En un viaje debe de transportar coches y motocicletas. Para los coches debe dedicar un mínimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad de los vagones dedicados a coches. Si los ingresos de la compañía ferroviaria son de 900 euros por cada vagón de coches y 600 euros por cada vagón de motos, cómo se deben de distribuir los vagones para obtener el máximo ingreso? x = nº vagones de coches y = nº vagones de motos La función objetivo es: F (x, y) = 900x + 600y x + y 27 x 12 x y 2 y 0 Los vértices son: (12, 6); (12, 15) y (18, 9) F (12, 6) = = F (12, 15) = = F (18, 9) = = Como el valor máximo es que corresponde al punto (18, 9) la solución es: 18 vagones de coches y 9 vagones de motos.

12 Disponemos de 21 millones para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las de tipo A que rinden al 10% y las de tipo B que rinden al 8%. Decidimos invertir un máximo de 13 millones del tipo A y un mínimo de 6 millones en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las de tipo A sea menor o igual que el doble de la inversión en B. Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo anual? x = nº millones invertidos en A y = nº millones invertidos en B La función objetivo es: F (x, y) = 0,1x + 0,08y x + y 21 x 13 y 6 x 2y x 0 Los vértices son: (0, 6); (0, 21); (13, 8); (13, 7) y (12, 6) F (0, 6) = 0, ,08 6 = 0,48 F (0, 21) = 0, ,08 21 = 1,68 F (13, 8) = 0, ,08 8 = 1,94 F (13, 7) = 0, ,08 7 = 1,86 F (12, 6) = 0, ,08 6 = 1,68 Como el valor máximo es 1,98 que corresponde al punto (13, 8) la solución es: 13 millones invertidos en A y 8 millones en B.

13 Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Además el triple de la producción de vinagre más cuatro veces la producción de vino es siempre menor o igual a 18 unidades. Hallar el número de unidades de cada producto que se debe de producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de 16 euros y cada unidad de vinagre 4 euros. x = nº unidades de vino y = nº unidades de vinagre La función objetivo es: F (x, y) = 16x + 4y 2x y + 4 3y + 4x 18 x 0 y 0 Los vértices son: (0, 0); (0, 6); (3, 2) y (2, 0) F (0, 0) = = 0 F (0, 6) = = 24 F (3, 2) = = 56 F (2, 0) = = 32 Como el valor máximo es 56 que corresponde al punto (3, 2) la solución es: 3 unidades de vino y 2 de vinagre.

14 Una peña de aficionados al fútbol encarga a una empresa un viaje para sus 1200 socios para ver la final. La empresa dispone de autobuses de 50 plazas y microbuses de 30 plazas. El precio de cada autobús es de 252 euros y de cada microbús de 180 euros. Sabiendo que la empresa sólo dispone de 28 conductores. Calcular qué numero de autobuses y microbuses deben contratarse para conseguir el mínimo coste posible. x = nº autobuses y = nº microbuses La función objetivo es: F (x, y) = 252x + 180y 50x + 30y 1200 x + y 28 x 0 y 0 Los vértices son: (24, 0); (18, 10) y (28,0) F (24, 0) = = 6048 F (18, 10) = = 6336 F (28, 0) = = 7056 Como el valor mínimo es 6048 la solución es: 24 autobuses y ningún microbús.

15 Un fabricante de aviones produce en dos fábricas tres tipos de aparatos: el A, el B y el C. Se ha comprometido a entregar semanalmente a un emirato árabe 12 aviones del tipo A, 8 del tipo B y 24 del tipo C. Al fabricante le cuesta euros diarios el funcionamiento de la primera fábrica y el de la segunda. La primera fábrica produce, en un día, 6 aviones tipo A, 2 tipo B y 4 tipo C; mientras que la segunda produce, respectivamente 2, 2 y 12. Cuántos días por semana debe de trabajar para, cumpliendo el contrato con el emir, conseguir reducir al máximo los costos de funcionamiento de las fábricas? x = nº días trabajados en la fábrica A y = nº días trabajados en la fábrica B La función objetivo es: F (x, y) = x y 6x + 2y 12 2x + 2y 8 4x + 12y 24 7 x 0 7 y 0 Los vértices son: (0, 6); (0, 7); (7, 7); (7, 0); (3, 1) y (1, 3) F (0, 0) = = 0 F (0, 7) = = F (7, 7) = = F (7, 0) = = F (3, 1) = = F (1, 3) = = Como el valor máximo es que corresponde al punto (1, 3) la solución es: 1 día la fábrica A y 3 la fábrica B.

16 En una fábrica se utilizan tres ingredientes: A, B y C para la elaboración de alimento para ganado. Se dispone de 90 toneladas de A, 90 de B y 70 de C. Se desean fabricar dos tipos de pienso: M y N. Una tonelada del pienso M requiere 2 toneladas de A, 1 de B y 1 de C, mientras que una tonelada de N requiere 1 tonelada de A, 2 de B y 1 de C. Sabiendo que cada tonelada de M se vende a 12 euros y cada una de N a 10 euros, cuántas toneladas de cada pienso (M y N) deben de facturarse para obtener un beneficio máximo? x = toneladas de pienso M y = toneladas de pienso N La función objetivo es: F (x, y) = 12x + 10y 2x + y 90 x + 2y 90 x + y 70 x 0 y 0 (Observa que la restricción x + y 70 sobra) Los vértices son: (0, 0); (0, 45); (30, 30) y (45,0) F (0, 0) = = 0 F (0, 45) = = 450 F (30, 30) = = 660 F (45, 0) = = 540 Como el valor máximo es 660 la solución es: 30 toneladas de pienso tipo M y otras 30 toneladas de pienso tipo N.

17 Un laboratorio utiliza las sustancias A y B en la elaboración de dos vacunas. La primera se prepara con 2 unidades de A y 1 de B, siendo su precio 30 euros, y la segunda se elabora con 2 unidades de A y 3 de B, siendo su precio 40 euros. Sabiendo que dicho laboratorio dispone de un total de 400 unidades de A y 300 de B, cuántas vacunas de cada tipo deberá preparar para obtener el máximo beneficio? x = nº vacunas tipo 1 y = nº vacunas tipo 2 La función objetivo es: F (x, y) = 30x + 40y 2x + 2y 400 x + 3y 300 x 0 y 0 Los vértices son: (0, 0); (0, 100); (150, 50) y (200, 0) F (0, 0) = = 0 F (0, 100) = = 4000 F (150, 50) = = 6500 F (200, 0) = = 6000 Como el valor máximo es 6500 que corresponde al punto (150, 50) la solución es: 150 vacunas tipo 1 y 50 vacunas tipo 2.

18 El veterinario ha recomendado que durante un mes mi perro tome diariamente, como mínimo, 4 unidades de hidrato de carbono, 23 de proteínas y 6 de grasas. En el mercado hay dos productos M y N, ajustados a la siguiente tabla para cada envase: Marca Hidratos de Carbono Proteínas Grasas Precio M N Qué número de envases debo de comprar de cada producto para obtener la dieta necesaria por el mínimo precio? x = nº envases de M y = nº envases de N La función objetivo es: F (x, y) = 10x + 16y 4x + y 4 6x + 10y 23 x + 6y 6 x 0 y 0 Los vértices son: (0, 4); (0,5, 2); (3, 0,5) y (6, 0) F (0, 4) = = 64 F (0,5, 2) = 10 0, = 37 F (3, 0,5) = ,5 = 38 F (6, 0) = = 60 Como el valor máximo es 37 que corresponde al punto (0,5, 2). Está solución no sería valida por ser decimal (hay que comprar unidades enteras), pero el consumo obtenido es diario y el problema nos dice que es durante un mes. Por tanto la solución es (multiplicando el valor por 30): 15 envases de M y 60 de N.

19 Disponemos de 80 kilos de un producto A y 120 kilos de un producto B. Con ellos se preparan dos compuestos: el primero lleva una parte de A y tres de B, en el segundo la proporción está al 50%. Los compuestos se venden en paquetes de 4 kilos al precio de 10 euros el paquete del primer compuesto y 12 euros el del segundo. Cuántos paquetes de cada compuesto se deben preparar para obtener el mayor valor de venta? x = nº de paquetes del primer compuesto y = nº de paquetes del segundo compuesto La función objetivo es: F (x, y) = 10x + 12y x + 2y 80 3x + 2y 120 x 0 y 0 Los vértices son: (0, 0); (0, 40); (20, 30) y (40, 0) F (0, 0) = = 0 F (0, 40) = = 480 F (20, 30) = = 560 F (40, 0) = = 400 Como el valor máximo es 560 que corresponde al punto (20, 30) la solución es: 20 paquetes del primer compuesto y 30 del segundo.

20 Una empresa química produce dos tipos de insecticida, A y B, siendo el coste de producción 20 euros el bote A y 5 el bote B y se venden a 25 y 8 euros el bote respectivamente. Sabiendo que por razones técnicas el número de botes producidos de A ha de ser como mínimo el cuádruple de botes diarios de B y que la empresa dispone un total de euros diarios de producción, determinar el número de botes diarios de cada insecticida que se deberá producir para obtener el beneficio máximo. x = nº botes del insecticida A y = nº botes del insecticida B La función objetivo es: F (x, y) = (25 20)x + (8 5)y = 5x + 3y x 4y 20x + 5y 1700 x 0 y 0 Los vértices son: (0, 0); (80, 20) y (85, 0) F (0, 0) = = 0 F (80, 20) = = 460 F (85, 0) = = 425 Como el valor máximo es 460 que corresponde al punto (80, 20) la solución es: 80 botes del insecticida A y 20 del insecticida B.

21 Una tienda especializada en artículos deportivos solicita dos tipos de prendas ligeras G y H. El fabricante dispone de 1,5 km de tejido natural y 1 km de tejido sintético. Ambos tejidos se confeccionan con 4 m de tejido, pero cada G precisa un 50% de tejido natural, mientras que cada H utiliza un 75% de tejido natural. Si el precio de venta de G es de 100 euros y el de H es de 80 euros, qué número de prendas de cada tipo debe suministrar el fabricante a la tienda para conseguir que el importe de la venta sea máximo? x = nº prendas G y = nº prendas H La función objetivo es: F (x, y) = 100x + 80y 2x + 3y x + y 1000 x 0 y 0 Los vértices son: (0, 0); (0, 500); (375, 250) y (500, 0) F (0, 0) = = 0 F (0, 500) = = F (375, 250) = = F (500, 0) = = Como el valor máximo es que corresponde al punto (375, 250) la solución es: 375 prendas G y 250 prendas H.

22 Un agricultor, para abonar una finca, necesita al menos 9 kg de nitrógeno y 15 kg de fósforo. En el mercado se vende un producto A que contiene un 20% de nitrógeno y un 40% de fósforo, y otro producto B que contiene un 30% de nitrógeno y un 30% de fósforo. El precio del producto A es de 4 /kg y el de B de 5 /kg. Qué cantidad ha de comprar el agricultor de cada producto para abonar la finca con el menor coste posible? x = nº kg del producto A y = nº kg del producto B La función objetivo es: F (x, y) = 4x +5 y 0,2x + 0,3y 9 0, 4x + 0,3y 15 x 0 y 0 Los vértices son: (0, 50); (30, 10) y (45, 0) F (0, 50) = = 250 F (30, 10) = = 170 F (45, 0) = = 180 Como el valor mínimo es 170 que corresponde al punto (30, 10) la solución es: 30 kg del producto A y 10 kg del producto B.

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