MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS I


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1 Facultad de Ciencias Económicas Convocatoria de Febrero Primera Semana Material Auxiliar: Calculadora financiera MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS I 3 de Febrero de 20-9 horas Duración: 2 horas 1. a) Leyes financieras multiplicativas de capitalización: Definición, expresión matemática, condición necesaria y suficiente para que una ley financiera sea multiplicativa y propiedad fundamental de estas leyes. (1 punto). b) Capitalización compuesta: Una entidad financiera necesita captar fondos y para ello ofrece un depósito a plazo de 5 años a un tipo de interés efectivo anual del 4%. También se contempla la posibilidad de que los depositantes puedan retirar hasta un 20% del montante constituido al finalizar cada uno de esos 5 años. Un ahorrador que ha depositado euros retira el citado 20% cuando han transcurrido 3 años porque necesita liquidez. Calcular razonadamente: 1. Montante que tiene a su favor una vez finalizados esos 3 primeros años (antes de retirar el 20%). (0,5 puntos). 2. Montante que recibirá al finalizar los 5 años (tener en cuenta lo que ha retirado a los 3 años). (1 punto). 3. El rédito mensual i y el tanto nominal J equivalentes al 4% efectivo anual. (0,5 puntos). 2. a) Rentas que se valoran con más de un tanto o tipo de interés: Explicar razonadamente cómo se obtiene el valor actual de una renta de cuantía constante C, con duración de n años y tipos de interés i 1 para los s primeros años e i 2 para los n-s últimos (s<n) (dibujar previamente un esquema gráfico de esta renta). (1,5 puntos). b) Una entidad sin ánimo de lucro tiene derecho a percibir una renta perpetua, de periodicidad anual y pospagable, creciente en progresión geométrica a razón de un 2% anual, siendo la cuantía del primer año euros. Negocia y, finalmente, acuerda con su banco sustituir esta renta por otra equivalente, también perpetua pero con cuantías constantes mensuales y prepagables, realizándose esta permuta a un tanto efectivo anual del 5%. Calcular razonadamente la cuantía mensual que percibirá. (2 puntos). 3. a) Letras del Tesoro: Explicar cómo se obtiene el tanto efectivo (rentabilidad efectiva real) para un inversor que adquiere las letras a un precio P y ha de pagar una comisión de suscripción c s y otra de amortización c a (ambas en tanto por mil), según que la letra tenga una duración menor o mayor que un año. (1 punto). b) Descuento bancario: El 23 de junio del año pasado (2011) la empresa MLK ha presentado a descuento en el banco ZYX la siguiente remesa de letras: Concepto Nominal Domiciliación Aceptación L/ girada el 20/6 y vencimiento 9/ Sí Sí L/ a 3 meses fecha, girada el 21/ No Sí El tanto de descuento que aplica el banco es el 10%. Las comisiones de cobranza son: El 6 para efectos domiciliados y aceptados, el 8 para efectos domiciliados sin aceptar y el 10 para efectos no domiciliados. Obtener razonadamente: 1. El importe efectivo que ingresa el banco en la cuenta del cliente. (1 punto). 2. La rentabilidad media obtenida por el banco utilizando la capitalización simple. (0,5 puntos). 3. El tanto efectivo anual de coste para el cliente utilizando la capitalización compuesta (TAEC) sabiendo que el timbre de las letras entre 3.005,07 y 6.010, euros son 16,83. (1 punto).

2 Solución Febrero 20 - Primera Semana 1. a) Teoría z 3 M= C L(1+i) M= (1+0,04) = ,84 2 M = ,84 (1-0,2) (1+0,04) =58.399,34 b3) i = 0,04 1/ 1/ i = (1+i) -1= (1+0,04) -1= 0,00327 J = i = 0,00327 = 0, a) Teoría I II ,05-1,02 b) V0 = V0 = X a 1/ X = =13.511,67 i =1, 05 1=0, ,05-1,02 1 1, , a) Teoría b3) n E =N 1- d - g E = ,1-0, ,1-0,01 = 7.716, Vencimiento medio = = 97,875 días n 97,875 E 1+i b = N ( ,5) 1+i b = i b = 0, Vencimiento medio = = 97,875 días ,875/365 97,875/365 c c c L 1+i = N ( , ,5-16,83) 1+i = i = 0,1628

3 Facultad de Ciencias Económicas Convocatoria de Febrero Segunda Semana Material Auxiliar: Calculadora financiera MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS I 17 de Febrero de 20-16,00 horas Duración: 2 horas 1. a) Ley financiera de descuento compuesto: Definición y expresión matemática. Magnitudes derivadas. Valor descontado y descuento. Representación gráfica. (1 punto). b) Capitalización Compuesta: Una entidad financiera ofrece Fondos de inversión garantizados, de tal manera que si se coloca una cuantía C se obtiene una revalorización (unos intereses) del 15% en 3 años y medio y del 25% en 5 años y medio. Calcular razonadamente: 1. Rentabilidad que ofrece cada una de las modalidades medida por el tanto efectivo anual. (1 punto). 2. Rédito semestral i 2 y tanto nominal J 2 equivalentes al tanto efectivo obtenido en el caso de la colocación a 3 años y medio. (1 punto). 2. Una persona tiene derecho a percibir una renta de cuantía mensual constante de C euros, con carácter pospagable y duración 2n años. Sin embargo, para mantener su poder adquisitivo, decide permutarla por otra también mensual pero que crezca anualmente en progresión geométrica con razón q, y con una duración de solamente n años. Si el tanto el tanto efectivo de valoración que se aplica a esta operación es i, obtener razonadamente: a) La cuantía mensual X que percibirá durante el primer año tras realizar la permuta. (2 puntos). b) Aplicación al caso: C = euros; q = 1,03; n = 10 años; i = 5%. (1,5 puntos). 3. a) Descuento financiero: Concepto y diferencia con el descuento de papel comercial. Explicar razonadamente cómo se obtiene el importe líquido que el banco entrega a su cliente. (1 punto). b) El Tesoro Público español realiza mensualmente subastas de Letras del Tesoro. En la subasta de Letras a 3 meses, realizada en octubre de 2011, se obtuvieron los resultados que resumidamente se recogen en el cuadro siguiente (tomados de la página web Las letras se pusieron en circulación el 28 de octubre de 2011 (fecha de liquidación) y la amortización se ha efectuado el 20 de enero de este año (fecha de vencimiento). Obtener razonadamente: 1. El tipo de interés medio de esta subasta aplicando la normativa del Tesoro. (1 punto). 2. En el caso de un inversor que adquiere directamente en el Banco de España 50 letras al precio medio y paga únicamente una comisión a la amortización del 1,5, calcular el importe que habrá desembolsado a la compra y el que percibe a la amortización, así como la rentabilidad efectiva real que obtiene (1,5 puntos).

4 Solución Febrero 20 Segunda Semana 1. a) Teoría I = 0,15 C 3,5 C ( 1+i) 1 = 0,15 C 3,5 ( 1+i) 1= 0,15 1/3,5 i = ( 1+ 0,15) 1 0,04074 I = 0,25 C 5,5 C ( 1+i) 1 = 0,25 C 5,5 ( 1+i) 1= 0,25 1/5,5 i = ( 1+ 0,25) 1 0,0414 i = 0,04 1/2 1/2 i 2 = (1+i) -1= (1+0,04) -1= 0, J = 2 i = 2 0, = 0, a) Teoría V V a = C = A( X;q) I II () 0 0 2n 1/ i =(1+i) 1 n i n q 1- (1+i ) -2n 1- C 1- (1+i ) i 1+i i C = X X = 1/ i [( 1+i) 1] 1+i- q q 1- i 1+i i 1+i- q 1- (1+i ) 1- (1+ 0,004074) C i 0, n X = = = 3.561,69 n 10 q 1, i 1+i 0, ,05 i 1+i- q 0, ,05-1,03-2n n 3. a) Teoría n P , P 1+i =1.000 i = = = 0, P n 994,68 84 E = ,68 = c E = (1-0,0015) = v Rentabilidad real : ,68 1+i r = (1-0,0015) i r = 0, r 84/ ,68 1+i = (1-0,0015) i = 0, r

5 Facultad de Ciencias Económicas Convocatoria de Septiembre Principal Material Auxiliar: Calculadora financiera MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS I 3 de Septiembre de 20-9,00 horas Duración: 2 horas 1. a) Ley financiera de capitalización simple: Explicar: (1,5 puntos). Expresiones matemáticas de esta ley financiera. Cómo se obtiene el montante y el interés. Formas de expresar el interés. Relaciones entre el interés para el año comercial y para el año civil o real. Representación gráfica. b) Una empresa ha de pagar dos letras, la primera de euros que vence dentro de 90 días y la segunda de euros que vence dentro de 210 días. Hoy se acuerda sustituir esas dos letras por una sola letra que sea equivalente a las dos citadas. Calcular razonadamente: (1,5 puntos). La cuantía de esa letra suma de las dos sabiendo que su vencimiento será dentro de 135 días y que se utiliza la ley de descuento comercial al 9% anual. (Nota: Se utiliza el año comercial de 360 días) La cuantía y el vencimiento de esa letra suma en el caso de que se hubiese aplicado la ecuación del vencimiento medio. 2. a) Clasificación de las rentas atendiendo: (1 punto). La duración. Al vencimiento de los capitales dentro de cada periodo de maduración. b) Una empresa inmobiliaria vende pisos cuyo precio al contado es de euros y ofrece distintas modalidades de pago. Un comprador se acoge a una modalidad que consiste en efectuar una entrega inicial del 10% ( euros) y el resto, a pagar durante 20 años mediante cuantías mensuales y pospagables, que irán creciendo anualmente en progresión geométrica a razón de un 4% anual, por acomodarse mejor a las retribuciones que espera recibir en el futuro. La primera mensualidad la pagará al mes de la firma del contrato. Sabiendo que la empresa vendedora valora los pagos aplazados a un tanto anual efectivo del 8%, obtener razonadamente: Mensualidad que ha de pagar el citado comprador durante el primer año (2 puntos). Mensualidad que habría de pagar si el tanto efectivo anual fuera el 4%. (1 punto). 3. a) Concepto de operación financiera y características que la definen. (1 punto). b) Una empresa envía a descuento hoy, 5 de septiembre, una letra de cambio de nominal euros, con vencimiento el 14 de diciembre y el banco Z le entrega una cuantía efectiva de ,50 euros. La comisión de cobranza que aplica el banco es el 6 del nominal de la letra con un mínimo de 8 euros y el timbre de la letra importa 67,31 euros, obtener razonadamente: El tanto de descuento que se ha aplicado y el líquido que le queda al cliente. (1 punto). Tanto de coste para el cliente en capitalización compuesta (TAEC). (1 punto).

6 Solución Septiembre 20 Principal 1. a) Teoría S 1- d = d d S = , S = C 1+C 2 = = C1 t 1 +C2 t t = = =162 días C +C a) Teoría b) 1,04 1- () 0,08 1, = A( X;1,04) 20 0,08 = X X = 1.365,97 1/ [ 1,08 1] 1+ 0,08-1,04 20 () -1 0, = A( X;1,04) 20 0,04 = X (1+0,04) X = 957,56 1/ [ 1,04 1] 3. a) b) n 100 E =N 1- d - g ,5 = d -0,006 d = 0, L =E- T =14.597,50-67,31=14,530,19 100/ / = ,19 1+ TAEC TAEC = -1= 0, ,19

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