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1 CONTENIDOS 0.- MAPA CONCEPTUAL DE LA UNIDAD FORMULACIÓN DEL PROBLEMA RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA NATURALEZA DE LAS RESTRICCIONES DÓNDE ESTÁ Y CÓMO SE ENCUENTRA LA SOLUCIÓN RESOLUCIÓN GRÁFICA MEDIANTE RECTAS DE NIVEL DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN ÓPTIMA ESQUEMA PRÁCTICO A SEGUIR EJEMPLOS RESUELTOS PROBLEMAS PROBLEMAS RESUELTOS: CASOS ESPECIALES Objetivo fundamental Plantear y resolver problemas de programación lineal bidimensional cuando: - La región factible es acotada - La región factible es no acotada pero tiene solución única 0.- MAPA CONCEPTUAL DE LA UNIDAD Unidad 3 Formulación del problema Resolución del problema Naturaleza de las restricciones Dónde está y cómo se encuentra la solución Resolución gráfica mediante rectas de nivel Discusión de la solución óptima Cipri Programación Lineal 1

2 1.- FORMULACIÓN DEL PROBLEMA Función objetivo: f x, y ax by c Restricciones: Inecuaciones lineales en x, en y ó en x, y Región factible: x, y:se verifican las restricciones Si x, y x, y puede ser solución (solución factible) Si x, y x, y no puede ser solución x, y tal que f x, y tome el valor óptimo (máximo o mínimo) Solución óptima: RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA 2.1. Naturaleza de las restricciones El conjunto de soluciones factibles de un problema de programación lineal de dos variables es una región convexa del plano limitada por las rectas asociadas a las restricciones Dónde está y cómo se encuentra la solución La solución óptima de un problema de programación lineal se encuentra siempre en la frontera de la región factible. En particular, una solución óptima se halla en alguno de los vértices de esa región La frontera de la región factible viene determinada por las rectas asociadas a las restricciones. Los vértices o puntos extremos son las intersecciones de esas rectas y se calculan resolviendo el sistema correspondiente. Como el número de vértices es finito, puede hallarse el valor de la función objetivo x y f, en cada uno de ellos; aquel que dé el valor máximo o mínimo es la solución buscada. En el caso de que f x, y tome el mismo valor (máximo o mínimo) en dos vértices, la solución óptima se da en cualquiera de los puntos del segmento que los une. Para regiones abiertas este criterio no es concluyente Resolución gráfica mediante rectas de nivel Las rectas de nivel dan los puntos del plano en los que la función objetivo toma el mismo valor. Si la función objetivo es f x y ax by c,, la ecuación de las rectas de nivel es de la forma: ax by c p ax by k y todas ellas son paralelas. Variando k (ó p ) se obtienen los distintos niveles para esas rectas y, en f x, y. consecuencia, distintos valores para Como el nivel aumenta (o disminuye) desplazando las rectas, el máximo (o el mínimo) de f x, y se alcanzará en el último (o en el primer) punto de contacto de esas rectas con la región factible. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II 2

3 2.4. Discusión de la solución óptima Ya sabemos que el valor óptimo de la función objetivo f x, y se da en alguno de los vértices de la región factible. No obstante, este criterio puede resultar insuficiente en los tres casos siguientes: 1. Hay dos vértices en los cuales f x, y toma el mismo valor. 2. La región factible sólo tiene un vértice y, por tanto, no hay posibilidad de comparar. 3. El problema no tiene solución. Resolución de los casos anteriores: Caso1: Casos 2 y 3: Sólo se dan en regiones no acotadas Cipri Programación Lineal 3

4 3.- ESQUEMA PRÁCTICO A SEGUIR Paso 1: Leer detenidamente el enunciado: determinar el objetivo, definir las variables y escribir la función objetivo. Paso 2: Reordenar los datos. Puede hacerse en forma de tabla. Paso 3: A partir de las cantidades decididas, x e y, escribir las restricciones. Paso 4: Expresar el problema en la forma estándar. Paso 5: Representar gráficamente las restricciones y la región factible. Paso 6: Hallar las coordenadas de los vértices del polígono obtenido. Paso 7: Sustituir las coordenadas de esos puntos en la función objetivo y hallar el valor máximo o mínimo. Paso 8: En regiones no acotadas es conveniente representar las rectas de nivel y comprobar que la solución gráfica coincide con la obtenida. Paso 9: Criticar la solución: Cerciorarse de que la solución hallada es lógica y correcta. 4.- EJEMPLOS RESUELTOS 1) Un almacén realiza a sus clientes una oferta relativa a sus excedentes de tres productos para piscinas: 1500 litros de hipoclorito sódico, 1400 litros de algicida y 1200 litros de floculante. Para ello prepara dos tipos de lotes de oferta: Tipo I: 10 litros de hipoclorito, 20 litros de algicida y 20 litros de floculante. Tipo II: 30 litros de hipoclorito, 20 litros de algicida y 10 litros de floculante. Cada lote del tipo I reporta un beneficio de 1000 ptas. y cada lote del tipo II 1200 ptas. Supongamos que se vendan todos los lotes preparados. Se pide: 1 ) Dibujar la región factible. 2 ) Cuántos lotes de cada tipo conviene preparar para obtener el máximo beneficio? Hipoclorito Beneficio Algicida Floculante sódico (Ptas.) Tipo I x 10 litros 20 litros 20 litros Tipo II y 30 litros 20 litros 10 litros Disponemos litros litros litros Restricciones: x 0 y 0 x, y 10x30y1500 (1) 20x20y1400 (2) 20x10y1200 (3) Función OBJETIVO (a maximizar) F( x, y) 1000x 1200y DIBUJO DE LA REGIÓN FACTIBLE: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II 4

5 Resolviendo los sistemas correspondientes, obtenemos los puntos esquinas (puntos extremos): A (0,0), B (60,0), C (50,20), D (30,40) y E (0,50). Evaluamos la función objetivo en dichos puntos: FA 0,0 0 FB 60, FC 50, FD 30, F 0, La función objetivo es máxima en D (30,40), esto es, conviene comprar 30 lotes de tipo I y 40 lotes de tipo II para que el beneficio sea máximo. Este caso, dicho beneficio es de ptas. 2) Una empresa constructora de barcos fabrica en sus dos astilleros tres tipos de barcos: A, B y C. Se compromete a entregar anualmente a cierta compañía marítima 18 barcos del tipo A, 10 del tipo B y 6 del tipo C. El primer astillero construye mensualmente 3 barcos del tipo A, 2 tipo B y 1 tipo C, siendo el costo mensual de su funcionamiento de 5 millones de euros, y el segundo astillero construye mensualmente 2 barcos tipo A, 1 tipo B y 2 tipo C, siendo el costo mensual de funcionamiento de 3 millones de euros. Cuántos meses al año deberá trabajar cada astillero para que la empresa cumpla su compromiso adquirido y consiga reducir al mínimo el costo de funcionamiento? La función objetivo es el costo, y hay que minimizarla. Llamando x al número de meses de trabajo del primer astillero e y al número de meses de trabajo del segundo astillero, se tiene que f x, y 5x 3y (en mill. de euros) Construimos una tabla para obtener las restricciones: Tipo A Tipo B Tipo C x y E Las restricciones son: 3x 2y 18 2x y 10 x 2y 6 x, y 0 Dibujo de la región factible: 3x 2y 18 3x 2y 18 x y , Falso 2x y 10 2x y 10 x y , Falso x 2y 6 x 2y 6 x y , Falso Cipri Programación Lineal 5

6 Cálculo de los puntos extremos: A (6, 0), C (0, 10) 3x 2y 18 C C2,6 2x y 10 Evaluamos la función objetivo en los puntos extremos: f A6, mill.de f B 2, mill.de f 0, mill.de C Por tanto, para que el costo de producción sea mínimo el primer astillero tiene que trabajar 2 mese y el segundo 6, en cuyo caso, dicho costo mínimo es de 28 mill. de euros. 3) Una fábrica de fertilizantes produce dos tipos de abono, A y B, a partir de dos materias primas M 1 y M 2. Para fabricar 1 tonelada de A hacen falta 500 kg de M 1 y 750 kg de M 2, mientras que las cantidades de M 1 y M 2 utilizadas para fabricar 1 tonelada de B son 800 kg y 400 kg, respectivamente. La empresa tiene contratado un suministro máximo de 10 toneladas de cada materia prima y vende a 1000 y 1500 cada tonelada de abono A y B, respectivamente. Sabiendo que la demanda de B nunca llega a triplicar la de A, cuántas toneladas de cada abono debe fabricar para maximizar sus ingresos y cuáles son estos? La función objetivo son los ingresos que obtiene por la venta de la materia prima, y hay que maximizarla. Llamando x al número de toneladas de abono de tipo A e y al número de toneladas de abono de tipo B, se tiene que f xy, 1000x 1500y (euros) Construimos una tabla para obtener las restricciones: Las restricciones son: Dibujo de la región factible: M 1 M 2 x 0,5 0,75 y 0,8 0,4 Disponibilidad ,5x0,8y10 0,75x0, 4y10 x 3y xy, 0 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II 6

7 0,5x0,8y10 0,5x0,8y 10 x y 0 12, , Verdadera x 3y x 3y x y , Verdadera 0,75x0, 4y10 75x40y x40y 1000 x y , Verdadera Cálculo de los puntos extremos (resolviendo los correspondientes sistemas de ecuaciones lineales): A(0, 0), B(11,32, 3,77), C(10, 6,25) y D(0, 12,5). Rectas de nivel: Ahora vamos a resolverlo usando las rectas de nivel, es decir, dibujamos la función (recta) 1000x1500y k 3x3 y p (ya simplificada) y le vamos dando valores a p: para p = 0, la recta pasa por el origen de coordenadas para p = 1, 2, 3, se van obteniendo rectas paralelas a la primera y lo que hay que hacer es ver cuál es el último punto extremo por el que pasa una de esas rectas de nivel (por que estamos maximizando). Dicho punto extremo será el máximo buscado. En este caso, es el punto C, como se puede apreciar en la gráfica siguiente, luego en él se alcanza el máximo de esta función. Así, los ingresos máximos ascienden a 10, 6, , f, y se obtienen fabricando 10 toneladas de abono de tipo A y 6,25 toneladas de abono de tipo B. Cipri Programación Lineal 7

8 5.- PROBLEMAS J-00) Las 18 chicas y los 24 chicos de 2 de Bachillerato de un centro docente organizan un viaje. Para financiarlo deciden trabajar por las tardes en una empresa encuestadora que contrata equipos de dos tipos Tipo A: Dos chicas y cuatro chicos. Tipo B: Tres chicas y tres chicos. La empresa abona por una tarde de trabajo 3000 Ptas. al equipo del tipo A y 5000 Ptas. al equipo del tipo B. Se pide: 1º) Dibujar la región factible. 2 ) Cómo les conviene distribuirse para obtener la mayor cantidad posible de dinero? 3 ) Si la empresa abonara por una tarde de trabajo 4000 Ptas. al equipo del tipo A y 4000 ptas. al equipo del tipo B. Cómo les convendría entonces hacer la distribución? S-00) Una fábrica envasa al día durante una campaña de Navidad 180 kg. de turrón. Produce tabletas medianas y grandes de peso neto 200 gr. y 300 gr., respectivamente. Se deben fabricar un número de tabletas medianas no superior al triple de tabletas grandes. El beneficio es de 110 Ptas. por tableta mediana y 150 Ptas. por tableta grande. Se pide: 1 ) Representar la región factible. 2 ) Cuántas tabletas de cada clase deben producirse al día para que el beneficio sea máximo? R1-00) Dada la función objetivo F( x, y ) = x + 3 y sujeta a las restricciones siguientes: a) x + 2y 2; b) x y 2 c) 2x y -1 d) x + y 4; e) x 0 f) y 0 Se pide: 1 ) Representar la región factible. 2 ) Valor de x y valor de y que hacen máxima la función F. R2-00) Un almacén realiza a sus clientes una oferta relativa a sus excedentes de tres productos para piscinas: 1500 litros de hipoclorito sódico, 1400 litros de algicida y 1200 litros de floculante. Para ello prepara dos tipos de lotes de oferta: Tipo I: 10 litros de hipoclorito, 20 litros de algicida y 20 litros de floculante. Tipo II: 30 litros de hipoclorito, 20 litros de algicida y 10 litros de floculante. Cada lote del primer tipo reporta un beneficio de 1000 Ptas. y cada lote del segundo tipo 1200 ptas. Supongamos que se vendan todos los lotes preparados. Se pide: 1 ) Dibujar la región factible. 2 ) Cuántos lotes de cada tipo conviene preparar para obtener el máximo beneficio? J-01) Una tienda de golosinas dispone de dos tipos de bolsas para cumpleaños con el siguiente contenido: Tipo I: 2 chicles, 3 piruletas, 8 caramelos y 1 bolsa de patatas fritas. Tipo II: 4 chicles, 4 piruletas, 5 caramelos y 2 bolsas de patatas fritas. En un determinado día el número de chicles de que dispone la tienda para el envasado de las bolsas no puede ser superior a 240 unidades y el número de piruletas no puede superar las 300 unidades. Además, por problemas de envases, el número de bolsas del Tipo I no puede ser superior a 40. El beneficio por la venta es: 150 pesetas por cada bolsa del Tipo I y 225 por cada bolsa del Tipo II. Halla el número de bolsas de cada tipo que deberían venderse en ese día para que el beneficio obtenido sea el mayor posible. S-01) Un Ciber-café realiza dos ofertas entre sus clientes habituales: Oferta I: 1 refresco, 3 bizcochos y 20 minutos de conexión a Internet. Oferta II: 1 refresco, 2 bizcochos y 30 minutos de conexión a Internet. Las características del local limitan a 50 horas diarias el tiempo máximo de conexión a Internet al no disponer de almacén, sólo se puede acumular un máximo de 100 refrescos y 240 bizcochos. Un cliente que opte por la Oferta I produce un beneficio de 500 pesetas y si opta por la Oferta II el beneficio es de 450 pesetas. Halla el número de clientes que deberían elegir cada una de las ofertas para que el beneficio total fuese lo mayor posible. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II 8

9 R1-01) ** Un atleta utiliza dos tipos de sesiones en su entrenamiento; Tipo 1: 10 carreras cortas de 100 metros cada una y 4 carreras largas de 3 kilómetros cada una. Tipo II: 10 carreras cortas de 300 metros cada una y 3 carreras largas de 2 kilómetros cada una. El tiempo que tarda el atleta en realizar una sesión del Tipo I es de 60 minutos y en realizar una sesión del Tipo II, 50 minutos. En carreras cortas el número de kilómetros semanales no puede ser superior a 9, y en carreras largas el número de kilómetros semanales no puede ser superior a 48. Halla el número de sesiones de cada tipo que debe realizar a la semana para que el tiempo de entrenamiento sea el mayor posible. Cuál es ese tiempo? R2-01) Un fabricante de helados utiliza dos tipos de envase para sus helados de vainilla: Cono de galleta y tarrina con capacidades respectivas de 30 y 20 centilitros. Diariamente envasa un máximo de 14 litros de helado. El número de conos de galleta no puede superar al cuádruplo del número de tarrinas y el número de éstas no puede superar al doble del número de conos de galleta. El precio de venta al público es: 275 pesetas el cono de galleta y 225 pesetas la tarrina El precio de coste es: 140 pesetas el cono de galla y 120 pesetas la tarrina. Halla cuántos envases de cada tipo debe realizar para que el beneficio diario sea máximo. J-02) En el último Salón Internacional del automóvil celebrado en España, un pequeño fabricante presentó sus modelos Caaper (precio por unidad: euros) y Ena (precio por unidad: euros). El coste de producción por unidad es, respectivamente, y euros. Para la fabricación de una unidad del primer modelo se necesitan 3 m 2 de un determinado producto textil y 7,5 Kg. de pintura especial, mientras que para la fabricación de una unidad del segundo modelo se necesitan 4 m 2 de producto textil y 7 Kg. de pintura. Mensualmente existen en el almacén 96 m 2 de producto textil y 195 kg de pintura. a) Representa la región factible. b) Halla cuántas unidades de cada modelo interesa fabricar mensualmente para que las ventas de las mismas produzcan el máximo beneficio. c) Calcula dicho beneficio. S-02) * Un fabricante de llaveros decide aplicar durante un día los siguientes criterios para la producción y venta de sus artículos: El doble del número de llaveros dorados (x) fabricados debe ser mayor o igual que el número de llaveros plateados (y). En cambio, si este último número se aumentase en 30, la cantidad obtenida seria mayor que el doble del número de llaveros dorados. El número de llaveros plateados no puede ser mayor de 40. La venta de un llavero dorado da un beneficio de 0,8 euros y la de uno plateado 0,65 euros. a) Representa la región factible b) Halla los valores de x e y para que el beneficio sea el mayor posible. c) Calcula el beneficio máximo. R1-02) Una fábrica debe producir diariamente, además de otros productos, entre 110 y 165 litros de zumo de naranja con multivitaminas. Para su comercialización dispone de dos tipos de envases: Tipo A de 1/3 de litro de capacidad y tipo B de 1/4 de litro de capacidad. Por razones de estrategia comercial, el número de envases del tipo A debe ser superior o igual que el doble del número de envases del tipo B. El beneficio obtenido por la venta es de 1 euro por cada envase del tipo A y 0,9 euros por cada envase del tipo B. a) Representa la región factible. b) Halla el número de envases de cada tipo que debe utilizar para que el beneficio obtenido sea el mayor posible. c) Calcula ese beneficio máximo. R2-02) Una tienda de ropa decide aprovechar las rebajas de verano para lanzar una oferta con sus excedentes de camisas (260 unidades), pantalones (140 unidades) y camisetas (50 unidades). Para ello prepara dos tipos de lotes; L1: 3 camisas, 2 pantalones y L2: 4 camisas, 1 pantalón, 1 camiseta. Cipri Programación Lineal 9

10 El beneficio obtenido por la venta de un lote del tipo L1 es de 10 euros y por la de un lote del tipo L2 de 8 euros. a) Representa la región factible. b) Halla el número de lotes de cada oferta que le conviene vender para que el beneficio obtenido sea el máximo posible. c) Calcula dicho beneficio. J-03) Una empresa de productos de papelería dispone de 270 metros cuadrados de cartón y 432 metros de cinta de goma para la fabricación de dos tipos de carpetas: Tamaño folio y tamaño cuartilla. Para una del primer tipo se necesitan 0,20 metros cuadrados de cartón y 30 centímetros de cinta de goma y se vende a 1,40 euros la unidad. Para una carpeta del segundo tipo se necesitan 0,15 metros cuadrados de cartón y 27 centímetros de cinta de goma y se vende a 1,10 euros la unidad. 1) Representa la región factible. 2) Cuántas carpetas de cada tipo interesa fabricar para que el beneficio que se obtiene con su venta sea lo más grande posible? 3) Calcula ese beneficio máximo. S-03) Una fábrica de mesas de jardín está especializada en dos modelos: ovalado y octogonal. Para la fabricación de una mesa del primer tipo se necesita 1 hora de trabajo y 2 kilos de material plástico. Para la fabricación de una mesa del segundo tipo se necesitan 3 horas de trabajo y 3 kilos de material plástico. Diariamente la fábrica dispone de obreros para realizar como máximo 36 horas de trabajo y de un máximo de 60 kilos de material plástico. Además, el número de mesas ovaladas no puede ser menor de 9 unidades. Por la venta de una mesa del primer tipo se obtienen 19 euros y por una del segundo tipo, 30 euros. 1) Representa la región factible. 2) Halla cuántas mesas de cada tipo deben fabricarse diariamente para que con su venta se obtenga un beneficio máximo. 3) Calcula ese beneficio máximo. R1-03) ** Para obtener dinero para la excursión fin de curso, un grupo de estudiantes decide, durante el tiempo de recreo, envasar cartuchos de tinta para pluma estilográfica, de dos formas: Envase tipo A: 5 cartuchos de tinta azul y 1 cartuchos de tinta negra- Envase tipo B: 2 cartucho de tinta azul y 6 cartuchos de tinta negra. Como mínimo deben utilizar 600 cartuchos de tinta azul y como máximo 2000 de tinta azul y 1800 de tinta negra. El cartucho de tinta azul cuesta 0 10 céntimos de euro y el de tinta negra 0,12 céntimos de euro. El precio de venta de un envase del tipo A es de 1,10 euros y el de un envase del tipo B es de 1,25 euros. 1) Cuál es la ganancia que se obtiene por la venta de cada tipo de envase? 2) Representa la región factible. 3) Halla cuántos envases de cada tipo deben comercializar para que el beneficio que se obtenga con su venta sea lo más grande posible. R2-03) El dueño de un vivero lanza una oferta de sus existencias en geranios y petunias. En el vivero hay 480 macetas de geranios y 350 macetas de petunias. Prepara dos tipos de lotes: Lote A: 5 macetas de geranios y 7 macetas de petunias. Lote B: 8 macetas de geranios y 2 macetas de petunias. La ganancia por la venta de un lote del tipo A es de 13 euros y por uno del tipo B, 17 euros. 1) Representa la región factible. 2) Halla cuántos lotes de cada tipo debe vender para que el beneficio obtenido sea lo mayor posible. 3) Calcula cuál es ese beneficio máximo. J-04) Un fabricante de abanicos dispone de dos modelos A y B. El modelo A requiere, para su elaboración, 20 cm 2 de papel, 120 cm 2 de lámina de madera y 1 enganche metálico. El modelo B requiere: 60 cm 2 de papel, 80 cm 2 de lámina de madera y 1 enganche metálico. El coste de producción de cada modelo es 1,20 euros el A y 1,30 euros el B. El precio de venta es de 1,80 euros cada uno, independientemente del modelo. Teniendo en cuenta que las existencias son de 3000 cm 2 de papel, 7200 cm 2 de lámina de madera y 70 enganches. 1) Representa la región factible. 2) Determina el número de abanicos de cada modelo que ha de hacer para obtener un beneficio máximo. 3) Calcula cuál es ese beneficio. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II 10

11 S-04) Un concesionario de motos necesita vender diariamente entre 1 y 5 unidades del modelo X y más de una unidad del modelo Y. Por cuestiones de estrategia comercial, la suma del número de unidades que se deben vender del módulo X y del doble de unidades de Y debe ser como máximo 13. Además la diferencia entre el número de unidades de Y y de X no puede ser mayor que 2. La venta de una moto del modelo X le reporta un beneficio de 1000 euros y la venta de una del modelo Y, 1100 euros. 1) Representa la región factible. 2) Determina el número de motos que debe vender de cada modelo para que el beneficio sea lo más grande posible. 3) Calcula cuál es ese beneficio máximo. R1-04) Un almacenista quiere realizar una oferta, relativa a dos tipos de pintura: Con brillo y mate en envases de 0,5 litros: Lote A: 2 botes de pintura con brillo y 3 de pintura mate. Lote B: 3 botes de pintura con brillo y 2 de pintura mate. El número de envases almacenados es de 240 de pintura con brillo y 300 de pintura mate. No puede vender diariamente más de 90 lotes del tipo A ni más de 60 lotes del tipo B. La venta de un lote A le reporta un beneficio de 2 euros y la venta de un lote B, 1,80 euros. 1) Representa la región factible. 2) Determina cuántos lotes de cada tipo debe vender para que el beneficio obtenido sea lo más grande posible. 3) Calcula ese beneficio máximo. R2-04) Para la fabricación de un determinado abono orgánico A se necesita una sustancia química B, con la siguiente condición: La cantidad de sustancia A debe estar comprendida entre la cantidad de sustancia B y el triple de ésta. El beneficio por la venta de 1 kilogramo de A es de 10 euros y el coste de cada kilogramo de B es de 6 euros. En un determinado día de producción, la suma de las cantidades de A y de B no puede superar los 800 kilogramos. 1) Representa la región factible. 2) Determina la cantidad de abono producido para que el beneficio sea máximo. 3) Calcula cuál es ese beneficio máximo. J-05) Un taller pirotécnico fabrica cohetes sencillos que luego vende a 2 70 euros el paquete de 10 y cohetes de colores que vende a 3 60 el paquete de 10. Por problemas de mecanización no pueden fabricar al día más de 400 cohetes sencillos ni más de 300 cohetes de colores, ni más de 500 cohetes sumando los de las dos clases. Se supone que se vende toda la producción. 1) Representa la región factible. 2) Cuántos cohetes de cada clase convendrá fabricar y vender para que el beneficio sea máximo? 3) Calcula ese beneficio máximo. S-05) Una empresa de autobuses de diversos tipos y capacidades dispone, en un determinado día, de un máximo de 7 conductores y de 6 conductoras. Recibe el encargo de transportar a los 528 alumnos de un centro docente con el fin de realizar una excursión de un día de duración. Si un conductor maneja un autobús de 44 plazas, entonces las conductoras deben manejar obligatoriamente los de 66 plazas. Por el contrario, si una conductora maneja un autobús de 24 plazas, entonces los conductores deben manejar obligatoriamente los de 72 plazas. La cantidad que cobra la empresa es de 500 euros al día por conductor, independientemente de si es hombre o mujer. 1) Representa la región factible. 2) Determina el número de conductores y el número de conductoras para que el beneficio empresarial sea máximo. 3) Calcula ese beneficio máximo R1-05) Se consideran dos estaciones A y B de una línea ferroviaria. Si el número de personas que transporta un tren que circula desde A hasta B o desde B hasta A es 100, entonces el número de personas transportadas al cabo de un día es como máximo de 900. En cambio si los trenes que circulan desde B hasta A admitieran el doble de pasajeros y los de A a B igual que antes, entonces el número de personas transportadas al cabo de un día sería como máximo de Un viaje diario, Cipri Programación Lineal 11

12 en sentido de A a B, le reporta a la empresa una ganancia de euros y uno en sentido de B a A, una ganancia de euros. 1) Representa la región factible. 2) Calcula el número de trenes que deben circular en cada sentido para que el beneficio sea el mayor posible. 3) Calcula ese beneficio máximo. R2-05) Un comerciante dispone en el almacén de 38 kg. de arroz en bolsas de 1 kg. y de 17 kg. de azúcar también en bolsas de 1 kg. Quiere liquidar estas existencias y para ello pone a la venta dos lotes de la forma: Lote A: 3 kg. de arroz y 2 kg. de azúcar a 4 6 euros la unidad; Lote B: 4 kg. de arroz y 1 kg. de azúcar a 4 8 euros la unidad. Por cuestiones de estrategia comercial decide vender un máximo de 7 unidades del lote A y 8 unidades del lote B. 1) Representa la región factible. 2) Halla el número de lotes de cada tipo que debe vender para que el beneficio sea el máximo posible. 3) Calcula ese beneficio máximo. J-06) En una tienda de artículos deportivos se pueden adquirir, entre otros productos, raquetas de bádminton y raquetas de tenis. El beneficio por la venta de cada raqueta es de 20 y 25 euros, respectivamente. Por cuestiones de estrategia comercial, se decide vender al día, como máximo, 6 raquetas de bádminton y 5 de tenis. Considerando que el número total de raquetas vendidas no puede ser mayor que 7, 1) representa la región factible, 2) halla el número de raquetas que debe venderse de cada clase para que el beneficio sea máximo y 3) calcula ese beneficio máximo. S-06) Un establecimiento de electrodomésticos decide ofrecer a sus clientes habituales lavadoras a 200 euros la unidad y frigoríficos a 250 euros la unidad. Para atender esta oferta, se dispone de 10 lavadoras y 7 frigoríficos. Considerando que el doble del número de lavadoras que se vendan más el triple del número de frigoríficos no puede ser mayor que 29, 1) representa la región factible, 2) determina cuántas unidades de cada uno de los electrodomésticos citados deben venderse para que el beneficio sea máximo, 3) calcula ese beneficio máximo. R1-06) Un bazar especializado en enseres para el hogar realiza a sus clientes, y solamente para la 1ª hora de apertura del establecimiento, la siguiente oferta: Lote A: 1 tenedor, 2 cucharas y 1 sacacorchos. Lote B: 2 tenedores, 1 cuchara y 1 sacacorchos. Los precios de cada lote son de 1,5 y 1,3 euros, respectivamente. Para cubrir esta oferta, el bazar dispone de 40 tenedores, 40 cucharas y 24 sacacorchos. 1) Representa la región factible. 2) Halla el número de lotes de cada clase que se deben vender para que el beneficio sea máximo. 3) Calcula ese beneficio máximo. R2-06) Un video-club ofrece a sus clientes la siguiente oferta fin de semana: Lote A: 1 película de acción, 2 películas románticas y 7 infantiles. Lote B: 2 películas de acción, 3 películas románticas y 4 infantiles. Los precios de cada lote son de 6 y 4 80 euros, respectivamente. Para cubrir esta oferta, el vídeoclub dispone de 40 películas de acción, 62 películas románticas y 126 infantiles. 1) Representa la región factible. 2) Halla el número de lotes de cada clase que deben alquilarse para que el beneficio sea máximo. 3) Calcula ese beneficio máximo. J-07) Una persona tiene 1500 euros para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene un interés simple anual del 9% y el tipo B del 5%. Decide invertir como máximo 900 euros en acciones A y como mínimo 300 euros en acciones del tipo B y además decide invertir en A por lo menos tanto como en B. 1) Dibuja la región factible. 2) Cómo debe invertir los 1500 euros para que los beneficios anuales sean los máximos posibles? 3) Calcula esos beneficios anuales máximos. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II 12

13 S-07) Una fábrica de lámparas produce dos modelos A y B. El modelo A necesita dos horas de trabajo de chapa y 1 una hora de pintura. El modelo B necesita una hora de chapa y 2 de pintura. Semanalmente se emplean como máximo 80 horas en trabajos de chapa y 100 horas en trabajos de pintura. Cada unidad del modelo A se vende a 75 euros y cada unidad del modelo B a 80 euros. 1) Dibuja la región factible. 2) Determina el número de lámparas de cada tipo que interesa producir para que el beneficio obtenido con su venta sea lo mayor posible. 3) Calcula el beneficio máximo R1-07) Una fábrica de artículos de cerámica lanza al mercado platos y jarrones para adorno al precio de 20 euros cada plato y 15 euros cada jarrón. Cada plato necesita 25 minutos de modelado y 25 minutos de pintura y cada jarrón necesita 30 minutos de modelado y 10 minutos de pintura. El número de operarios existentes en la fábrica permite dedicar un máximo de 25 horas para trabajos de modelado y 16 horas y 40 minutos para trabajos de pintura. 1) Dibuja la región factible. 2) Cuántas piezas de cada clase conviene fabricar para que el beneficio obtenido con su venta sea lo mayor posible? 3) Calcula el beneficio máximo posible. R2-07) Una fábrica de trofeos deportivos realiza la siguiente oferta diaria: Lote A: 3 medallas y cuatro placas. Precio de venta: 25 euros. Lote B: 4 medallas y una placa. Precio de venta: 30 euros. Para atender las peticiones diarias dispone en el almacén de 37 medallas y 32 placas. Por razones de estrategia comercial decide no vender más de 7 unidades del lote B. 1) Dibuja la región factible. 2) Determina el número de lotes de cada tipo que debe vender para que el beneficio obtenido sea máximo. 3) Calcular ese beneficio máximo. J-08) Una compañía de telefonía móvil quiere celebrar una jornada de Consumo razonable y ofrece a sus clientes la siguiente oferta: 15 céntimos de euro por cada mensaje SMS y 25 céntimos de euro por cada minuto de conversación incluyendo el coste de establecimiento de llamada. Impone las condiciones: (a) El número de llamadas de un minuto no puede ser mayor que el número de mensajes aumentado en 3, ni ser menor que el número de mensajes disminuido en 3. (b) Sumando el quíntuplo del número de mensajes con el número de llamadas no puede obtenerse más de 27. 1) Dibuja la región factible. 2) Determina el número de mensajes y de llamadas para que el beneficio sea máximo. 3) Cuál es ese beneficio máximo? S-08) Un camión para el transporte de electrodomésticos cobra 25 euros por cada frigorífico de 0,6 m 2 de base y 22 euros por cada lavavajillas de 0,5 m 2 de base. El camión dispone de 9 m 2 como máximo para este tipo de carga. Por necesidades de demanda el número de lavavajillas no puede superar al 60% del número de frigoríficos. Se deben transportar como mínimo 5 frigoríficos. 1) Dibuja la región factible. 2) Determina el número de electrodomésticos de cada clase para que el beneficio obtenido con el transporte sea lo más grande posible. 3) Calcula el beneficio máximo. R1-08) Una droguería realiza a sus clientes la oferta siguiente: Lote A: 3 paquetes de detergente y 3 botellas de lavavajillas. Lote B: 2 paquetes de detergente y 4 botellas de lavavajillas. El precio de venta de cada lote A es de 24 euros y de cada lote B, 22 euros, pero no pueden venderse más de 9 lotes de la clase B. En el almacén hay 36 paquetes de detergente y 48 botellas de lavavajillas. 1) Dibuja la región factible. 2) Determina cuántos lotes de cada clase hay que vender para que el beneficio sea máximo. 3) Calcula el beneficio máximo. R2-08) Una frutería decide, a última hora, realizar la siguiente oferta: Un lote A al precio de 2,80 euros compuesto por 3kg. de naranjas y 1 kg. de peras y un lote B al precio de 2,60 euros, compuesto por 1 kg. de naranjas y 2 kg. de peras. En el almacén hay 27 kg. de naranjas y 14 kg. de Cipri Programación Lineal 13

14 peras. Por cuestiones de marketing decide que el número de lotes de la clase B, ni sea superior a cuatro, ni sea superior al doble del número de lotes de la clase A. 1) Dibuja la región factible. 2) Determina el número de lotes de cada clase que se deben vender para que el beneficio sea máximo. 3) Cuál es ese beneficio máximo? J-09) Una confitería realiza una oferta a sus clientes través de dos tipos de lotes A y B. El lote A lleva 3 tabletas de turrón y 5 cajas de bombones. El lote B está compuesto por 5 tabletas de turrón y 3 cajas de bombones. Por cuestiones de estrategia comercial, el número de lotes del tipo B debe ser menor que el número de lotes del tipo A incrementado en 4. El número de tabletas de turrón disponibles en el almacén para esta oferta es 52 y el de cajas de bombones, 60. La venta de un lote del tipo A reporta una ganancia de 6,5 euros y uno del tipo B, 8,5 euros. 1) Dibuja la región factible. 2) Determina el número de lotes de cada tipo que debe vender para que la ganancia sea lo mayor posible. 3) Calcula esa ganancia máxima. S-09) Un establecimiento de artículos deportivos realiza entre sus clientes la oferta siguiente: Pelotas de tenis Pelotas de ping-pong Pelotas de golf Beneficio por lote Lote Tipo A euros Lote Tipo B euros Existencias ) Dibuja la región factible. 2) Determina el número de lotes de cada tipo que debe vender para que el beneficio sea lo mayor posible. 3) Calcula el beneficio máximo. R1-09) Una persona decide ingresar parte de sus ahorros en dos entidades bancarias con las siguientes condiciones: (a) La cantidad x depositada en la entidad A no puede superar los 1200 euros. (b) La cantidad y depositada en la entidad B no puede superar los 800 euros. (c) La suma del quíntuplo de la cantidad depositada en A y del séxtuplo de la cantidad depositada en B no puede exceder de 7800 euros. El interés anual ofrecido por la entidad A es del 3,5 % y el ofrecido por la entidad B es del 3,75 %. 1) Dibuja la región factible. 2) Determina las cantidades que debe depositar en cada una de las entidades para que, en las condiciones expuestas, el beneficio sea lo mayor posible. 3) Calcula el beneficio máximo. R2-09) Para preparar una prueba final, un estudiante decide dedicar un tiempo x al trabajo personal realizado en casa y un tiempo y al trabajo en equipo a desarrollar en la biblioteca del centro, con las siguientes condiciones: (a) El tiempo en casa no puede superar las 5 horas. (b) El tiempo de trabajo en la biblioteca no puede ser mayor de 3 horas y 20 minutos. (c) El tiempo de trabajo en casa más el triple del tiempo de trabajo en la biblioteca no puede superar las 12 horas. Se considera que el aprovechamiento efectivo del tiempo es del 60 %, el de casa y del 45 % el de la biblioteca. 1) Dibuja la región factible. 2) Determina el tiempo que debe dedicar al trabajo en casa y en la biblioteca para que el aprovechamiento sea lo mayor posible. 3) Calcula el aprovechamiento máximo. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II 14

15 6.- PROBLEMAS RESUELTOS: CASOS ESPECIALES REGIÓN FACTIBLE NO ACOTADA CON UNA SOLUCIÓN Un ganadero debe suministrar un mínimo de 30 mg de vitamina A y de 35 mg de tipo B por kg de pienso a sus animales. Dispone de dos clases de pienso R y S, cuyos contenidos en mg de las vitaminas A y B por kg de pienso vienen dados en por la tabla: El pienso R vale 0,24 /kg y el S, 0,36 /kg. 1.- Dibuja la región factible. 2.- Cuántos kg de cada clase debe mezclar para suministrar el pienso de coste mínimo? Y 3.- Cuál es ese coste? A B R 6 5 S 6 10 Vitamina A utilizada 6x + 6y Vitamina B utilizada 5x + 10y Restricciones: x 0, y 0 6x 6y 30 5x 10y 35 (1) (2) Función OBJETIVO, a optimizar (minimizando) es el Coste C(x,y) 0,24 x 0, 36 y DIBUJO DE LA REGIÓN FACTIBLE: Los puntos de las esquinas son: A (7,0) B (3,2) C (0,5). Las coordenadas de B se han obtenido como intersección de las rectas (1) y (2). Los costes en estos puntos son: C A (7,0) = 1,68 C B (3,2) = 1,44 C C (0,5) = 1,80 Por tanto el coste mínimo se obtiene al comprar 3 kg de pienso tipo R y 2 kg de pienso tipo S, obteniendo un coste mínimo de 1,44. Este problema no tendría solución si fuera maximizar. Cipri Programación Lineal 15

16 REGIÓN FACTIBLE NO ACOTADA SIN SOLUCIÓN Maximizar B(x,y) 3x 4y, sujeta a las restricciones siguientes: x 0, y 0 x y (1) x y 2 (2) DIBUJO DE LA REGIÓN FACTIBLE: Los puntos de las esquinas son: A (1,1) y B (0,2) Si queremos maximizar, es imposible, ya que si B A (1,1) = 7 B B (0,2) = 8. Pero si cogemos otro punto cualquiera de la región factible, por ejemplo, el (2,3) obtendríamos: B (2,3) = = 18, y si cogemos otro punto de coordenadas mayores obtendríamos un resultado mayor. Por tanto esta función no se puede maximizar al no estar acotada la región factible. Este problema tendría solución si se minimiza. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II 16

17 REGIÓN FACTIBLE NO ACOTADA CON MÚLTIPLES SOLUCIONES Un ganadero debe suministrar un mínimo de 30 mg de vitamina A y de 35 mg de tipo B por kg de pienso a sus animales. Dispone de dos clases de pienso R y S, cuyos contenidos en mg de las vitaminas A y B por kg de pienso vienen dados en por la tabla: El pienso R vale 0,24 /kg y el S, 0,48 /kg. 1) Dibuja la región factible. 2) Cuántos kg de cada clase debe mezclar para suministrar el pienso de coste mínimo? y 3) Cuál es ese coste? A B R 6 5 S 6 10 SOL: Vitamina A utilizada 6x + 6y Vitamina B utilizada 5x + 10y Restricciones: x 0, y 0 6x 6y 30 5x 10y 35 (1) (2) Función OBJETIVO, a optimizar (minimizando) es el Coste C(x,y) 0,24 x 0, 48 y DIBUJO DE LA REGIÓN FACTIBLE: Los puntos de las esquinas son: A (7,0) B (3,2) C (0,5). Las coordenadas de B se han obtenido como intersección de las rectas (1) y (2). Los costes en estos puntos son: C A (7,0) = 1,68 C B (3,2) = 1,68 C C (0,5) = 2,40 Este problema tiene infinitas soluciones, todos los puntos de la recta (2) entre los valores x = 3 y x = 7 siendo los costes mínimos de 1,68. Este problema es interesante, pues si x, y son números naturales, tiene tres soluciones. X Y 2 1,5 1 0,5 0 Cipri Programación Lineal 17

18 REGIÓN FACTIBLE ACOTADA CON INFINITAS SOLUCIONES, PERO FINITAS SI SON NATURALES x 0, y 0 Minimizar B(x,y) x y, sujeta a las restricciones siguientes: x y 10 (1) 4x 3y 60 (2) DIBUJO DE LA REGIÓN FACTIBLE: Los puntos de las esquinas son: A (10,0), B (15,0), C (0,20) y D ( 0,10) MIN A (10,0) = 10 MIN B (15,0) = 15 MIN C (0,20) = 20 MIN D (0,10) = 10 Por tanto el mínimo se produce en los puntos A y D y en todos los puntos de la recta (1) comprendidos entre ambos. Este problema tiene infinitas soluciones. OBSERVACIÓN: Si x, y, las soluciones serían: X Y Habría 11 soluciones. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II 18

19 REGIÓN FACTIBLE ACOTADA CON MÚLTIPLES SOLUCIONES Optimizar (maximizando) B(x,y) 3x 2y, sujeta a las restricciones siguientes: x 0, y 0 x y 7 (1) x 3y 15 (2) 3x 2y 18 (3) DIBUJO DE LA REGIÓN FACTIBLE: Los puntos de las esquinas son: A (0,0) B (6,0) C (4,3) D (3,4) E (0,5) Y los valores que toman son: B A (0,0) = 0 B B (6,0) = 18 B C (4,3) = 18 B D (3,4) = 17 B E (0,5) = 10 Por tanto los valores máximos se producen en los puntos B y C y además en todos los punto de la recta (3) entre B y C. Luego tiene infinitas soluciones. OBSERVACIÓN: Si x, y, las soluciones serían: Habría 2 soluciones. X Y 3 1,5 0 Cipri Programación Lineal 19

20 REGIÓN FACTIBLE ACOTADA CON MÚLTIPLES SOLUCIONES (DOS) Una fábrica produce ordenadores e impresoras. Cada ordenador lleva 3 horas de montaje y cada impresora 2 horas. El número de ordenadores debe superar por lo menos en 3 al número de impresoras. Si en cada ordenador se gana 30 y en cada impresora 20. 1) Representa la región factible. 2) Halla cuántos ordenadores e impresoras deben fabricarse durante 24 horas para que con su venta se obtenga un beneficio máximo. 3) Calcula ese beneficio máximo. Horas Ordenadores x 3 30 Impresoras y 2 20 La función Objetivo es maximizar los beneficios B( x, y) 30x 20y x0, y0 xy, Las restricciones son: 3x2y24 (1) x y3 (2) DIBUJO DE LA REGIÓN FACTIBLE: Los puntos de las esquinas son: A (3,0) B (8,0) C (6,3) Y los valores que toman son: B A (3,0) = 90 B B (8,0) = 240 B C (6,3) = 240 Este problema presenta múltiples soluciones, todos los puntos de la recta (1) entre x = 6 y x 8, siendo los beneficios máximos de 240. Cómo x e y deben ser naturales, buscamos las posibles soluciones. X Y 3 1,5 0 Luego en realidad sólo tiene dos soluciones. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II 20

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