Benavides Muñoz Holger. Área de Ingeniería Hidráulica y Saneamiento. Unidad de Ingeniería Civil, Geología y Minas.


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1 Aplicación de métodos numéricos en el análisis financiero. Determinación de la TR por el método de Newton Raphson Benavides Muñoz Holger Área de ngeniería Hidráulica y Saneamiento. Unidad de ngeniería Civil, Geología y Minas. Universidad Técnica Particular de Loa. Ecuador. Loa, Febrero Pág.: 1 / 12

2 1 ntroducción El análisis económico, social o financiero de proyectos que requieren una inversión de capitales, se fundamentan en una evaluación de su mismo nombre que se basa en el cálculo de indicadores. La cifra numérica que caracteriza a cada indicador se lo ha determinado desde siempre mediante modelos matemáticos simples o compuestos que simulan entre otros una actualización o proyección en el tiempo de los beneficios y egresos resumidos y presentados en un fluo neto, que concatenados con una tasa que normalmente involucra criterios como de meor oportunidad - riesgo de inversión e inflación principalmente - se ponen de manifiesto cifras numéricas que aseguran o no la conveniencia de la inversión respecto del punto de vista considerado en la evaluación, económica, social o financiera. Entre los indicadores financieros, se destaca la tasa interna de retorno - TR- cuyo concepto encauza el cálculo para establecer el valor de la tasa con el que el valor actual neto - se hace cero. Benavides (2006). Normalmente, el cálculo de la TR se lo ha efectuado por el método de la interpolación. 2 Obetivos específicos Optimizar mediante métodos numéricos el procedimiento de cálculo de la tasa interna de retorno - TR - a partir del modelo matemático del para su aplicación en evaluación de proyectos. Comparar la precisión y error que existe para cada uno de los métodos numéricos propuestos para el cálculo de la TR. Proponer el uso de métodos informáticos para el cálculo de la TR Pág.: 2 / 12

3 3 Hipótesis Al aplicar métodos numéricos en el cálculo de la TR a partir del modelo matemático del el resultado conseguido será ligeramente más preciso. 4 Metodologías: Para el cálculo comparativo en el presente trabao plantearemos un fluo de fondos en el tiempo, cuyos egresos e ingresos sean datos del eemplo; así también, la tasa de oportunidad. Cuadro 01. Datos del fluo de fondos - eemplo - AÑOS RUBROS COSTOS TOTALES BENEFCOS TOTALES FLUJO DE FONDOS Método de interpolación lineal Este procedimiento requiere que el calculista imponga dos tasas - una y una mayor - tal que ellas originen un positivo y otro negativo, respectivamente. La TR es el valor de la tasa (del ee de las abscisas) que interseca con la recta cuya trayectoria pasa por las, y por el punto coordenadas del punto dado por la tasa y su ( ) cuyas coordenadas resultan de la tasa mayor y su respectivo ( ) Como un procedimiento se resume que: a) Obtenemos el modelo matemático del,,. MAYOR MAYOR = E 0 n VA = 1 ( 1 i ) [01] Pág.: 3 / 12

4 donde, E 0 - inversión en el año cero. VA - ingresos menos egresos para el período. n - número de períodos totales. i - tasa. En este eemplo la ecuación del es: i = ( 1 i) 1 ( 1 i) 2 ( 1 i) 3 ( 1 i) 4 ( 1 i) 5 ( 1 i) 6 ( 1 i) 7 b) Graficamos la curva en un sistema coordenado, tasa en el ee de las abscisas y en el de las ordenadas. Gráfico 01. Tasa versus ($) 2 0 0% -2 5% 10% 15% 20% 25% TASA % c) A continuación asignamos dos valores de tasa, con las que podamos obtener un positivo y otro negativo; en este caso propuesto, la intersección de la curva con el ee de las abscisas están alrededor del 10% (gráfico 01), entonces asumimos un valor de 9% para la tasa y 11% para la tasa mayor. Así tenemos, Pág.: 4 / 12

5 9% 9% = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 11% 11% = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La recta pasará por las coordenadas: ( 9 %,0.469) y ( 11%, 0.881) ; (gráfico 02). 7 Gráfico 02. nterpolación lineal (tasa vs ) ( 9%,0.469) MAYOR incremental ( 11%, 0.881) MAYOR d) Planteando proporcionalidad y basados en el criterio de semeanza de triángulos tenemos que: MAYOR incrementa l = MAYOR incrementa l = MAYOR MAYOR TR = incremental Pág.: 5 / 12

6 Una forma de presentar la fórmula para calcular la tasa con la que el se hace cero es la fórmula 02: TR MAYOR = [02] MAYOR donde, - valor impuesto como tasa. MAYOR - valor impuesto como tasa mayor. - calculado con la tasa. MAYOR - calculado con la tasa mayor. TR - tasa interna de retorno. Tabla 01. Resumen del cálculo de la TR por interpolación lineal AÑOS RUBROS COSTOS TOTALES BENEFCOS TOTALES FLUJO DE FONDOS % Factor de actualización Fluo Neto Actual (0.09) % Factor de actualización Fluo Neto Actual (0.11) TR = TR = 9.70% Pág.: 6 / 12

7 Como se puede observar, el resultado de la TR obtenido por este método será más preciso en tanto y en cuanto los dos valores del - resultados de las tasas y mayor impuestas - se aproximen más a cero. 4.2 Método de tanteos Partiendo de la ecuación del expresada en función de la tasa (i), mediante tanteos se puede crear una tabla de datos tales que nos permitan conocer el valor de la tasa con la que el se hace cero, es decir aproximar la TR. Como procedimiento podemos sugerir que: a) Obtener la ecuación del, para el eemplo propuesto: i = ( 1 i) 1 ( 1 i) 2 ( 1 i) 3 ( 1 i) 4 ( 1 i) 5 ( 1 i) 6 ( 1 i) 7 b) Crear una tabla, cuyas dos columnas sean la de la tasa (i) que iremos variando y la del respectivo. niciamos asignando valores de la tasa cuyos se aproximen a cero. Tabla 02. Cálculo de la TR por tanteos i (i ) % $ 20.0% % % % % % % % % % Pág.: 7 / 12

8 c) Afinar el valor de la tasa, manualmente, hasta que el tenga un valor muy aproximado a cero. Anotaremos esta última tasa como la TR. En el presente eemplo, la TR será %. d) Para agilitar este proceso de tanteos, podemos hacer uso del solver, herramienta del Microsoft Excel. Gráfico 03. Aplicación del Solver para cálculo de TR Como podemos apreciar en este eemplo didáctico, el solver de Excel nos proporciona un valor de la tasa (TR) con la que el se aproxima mucho a cero de: % La precisión es de: Método de Newton - Raphson Aplicar el método numérico de Newton Raphson para el cálculo de la TR basados en la ecuación del, proporciona resultados más confiables en un intervalo de tiempo de cálculo, comparado con el método convencional de interpolación. Como procedimiento podemos sugerir: a) Obtener la ecuación del, i = ( 1 i) 1 ( 1 i) 2 ( 1 i) 3 ( 1 i) 4 ( 1 i) 5 ( 1 i) 6 ( 1 i) 7 Pág.: 8 / 12

9 b) El cálculo del valor de la tasa con la que el sea cero se lo efectúa con la fórmula 03, método Newton Raphson - : ( ) 1 = [03] van donde, '( ) - valor impuesto de la tasa. - calculado con la tasa impuesta ( ) ( ). van - primera derivada de la ecuación del con respecto de la tasa. '( ) Entonces, ( ) = van '( ) = ( 1 ) 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) 3 ( 1 ) 4 ( 1 ) 5 ( 1 ) 6 ( 1 ) ( ) 2 ( 1 ) 3 ( 1 ) 4 ( 1 ) 5 ( 1 ) 6 ( 1 ) 7 ( 1 ) = ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tabla 03. Cálculo de la TR por el método de Newton - Raphson ( ) van ' ( 1 ) Δ 38.0% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % TR % % % Pág.: 9 / 12

10 En este eemplo hemos iniciado las corridas de análisis con un valor muy diferente al del resultado (38 %), tal que se vea la bondad del procedimiento planteado; mas, el método converge al punto de respuesta en un número de líneas de corrida, en tanto en cuanto la cifra inicial impuesta sea aproximada al resultado esperado. En este caso - tabla 03 - a parir de la sexta corrida podemos tener ya un valor muy aproximado al resultado final. Gráfico 04. Tasa vs. y vs. su primera derivada (van ) % -20% 0% 20% 40% 60% van ' Tabla 04. Cálculo de la TR por el método de Newton - Raphson ( ) van ' ( 1 ) Δ 15.0% % % % 8.33E % % 2.06E % % 1.21E % % 4.14E % % 1.39E-16 TR % % 0.00E00 En este segundo eemplo - tabla 4 -, las corridas las iniciamos asignando un valor de la tasa un tanto más aproximado al resultado final (15%); observamos que la respuesta converge muy favorablemente a partir de la cuarta línea de corrida. Para calcular la TR por el método de Newton-Raphson también podemos utilizar la herramienta solver. Pág.: 10 / 12

11 Gráfico 05. Método de Newton Raphson con el Solver La primera derivada del también se la puede calcular por métodos numéricos, según fórmula 04: ( ) h ( ) van' ( = ) [04] h donde, ( h) - valor actual neto calculado para la tasa ( h). ( ) - valor actual neto calculado para la. h - paso numérico. La precisión en el cálculo por métodos numéricos de la primera derivada de una expresión polinómica exponencial, como la del en nuestro caso, está en función del paso h. Gráfico 06. Cálculo de la primera derivada del por métodos numéricos h ( ) van ' ( 1 ) Δ % % % % 8.33E % % 2.06E % % 1.21E % % 3.75E % % 0.00E00 TR % % 0.00E00 Pág.: 11 / 12

12 4.4 Método de aplicación de funciones de Excel Aplicar las funciones financieras que trae Microsoft Excel, significa hoy en día la meor opción, para este tipo de cálculos. Por supuesto, siempre y cuando se entienda qué significa y cómo se lo calcula bao procedimiento normal. Conclusión La determinación de la tasa interna de retorno - TR - por el método de interpolación es impreciso comparado con el de Newton Raphson. Para emplear el método de Newton Raphson, en muy puntuales casos, se deberá tener cuidado de escoger un valor inicial de la tasa, cuyo (van ) ayude a calcular la convergencia del punto resultado esperado. El cálculo del valor de la primera derivada del por métodos numéricos, para valores de h pequeños es ligeramente impreciso comparado con el valor de la derivada calculada por análisis diferencial. Para el cálculo y operación con fluos de fondo e indicadores de evaluación en proyectos de inversión, lo más cómodo y versátil, hoy en día, es el uso de la ofimática. Bibliografía: ARYA, J. & LARDNER, R Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. Cuarta edición. Pearson educación. México. BENAVDES, H MATEMÁTCA APLCADA. Guía didáctica de ngeniería en Gestión Ambiental de la UTPL modalidad a distancia. UTPL. Loa. Ecuador. Pág.: 12 / 12

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