1. Conocimientos previos. 1 Funciones exponenciales y logarítmicas.


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1 . Conocimientos previos. Funciones exponenciales y logarítmicas.. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Intervalos y sus definiciones básicas. Funciones. Funciones polinómicas de primer y segundo grado. Propiedades de las potencias. Sería conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente.. Funciones exponenciales. Definición: A las funciones de la forma f(x) = a x, siendo a un número real, se las denomina funciones exponenciales. Así, por ejemplo, la representación gráfica de la función f(x) = x se puede apreciar en la figura Figura : Representación gráfica de la función f(x) = x. Esta función, f(x) = a x, tienen las siguientes propiedades:. Su dominio es toda la recta real. Dom f(x) = (, ).. Si la base es positiva, a > 0 la imagen de la función es Im f(x) = (0, ).. Para x = 0, se tiene que f(0) =. 4. Si a > 0 se tiene que, cuando x entonces f(x). 5. Si a > 0 se tiene que, cuando x entonces f(x) Si 0 < a < se tiene que, cuando x entonces f(x) 0.

2 . Aplicaciones de la función exponencial. 7. Si 0 < a < se tiene que, cuando x entonces f(x). La figura muestra un ejemplo de función con 0 < a <, la función f(x) = ( ) x Figura : Representación gráfica de la función f(x) = ( ) x.. Aplicaciones de la función exponencial... Crecimiento de una población. Determinadas poblaciones siguen un crecimiento exponencial de la forma: f(t) = A e k t donde e =, A, es la población inicial, para t = 0 y k es la tasa de crecimiento. Ejercicios:. Existe un virus que tiene una tasa de crecimiento de. Si al principio sólo hay un infectado. Calcular el número de infectados después de, 4 y 8 días. Sol.: 54,59, 980,95 y 88860,5. En el ejercicio anterior, cuántas personas son infectadas en un día por el virus?sol.: 7,8.. Interés compuesto. Cuando se maneja el interés compuesto, el capital generado se vuelve a invertir en el capital inicial. Si se invierte un capital inicial C, a un interés anual, r (en tanto por uno), abonado en n períodos anuales durante t años, entonces, el capital acumulado a su vencimiento, A, viene dado por la fórmula: ( A = C + r ) nt n Ejercicios: Se dispone de un capital de 0000 euros. Se invierte dicho capital a interés compuesto del % durante años. Cada mes se van recibiendo los beneficios. Cuál será el capital al vencimiento? Sol.: 0940,5

3 . Interés compuesto continuo... Interés compuesto continuo. Cuando n crece indefinidamente (n ), es decir, los intereses se acumulan en cada instante y los períodos se hacen cada vez más pequeños, entonces r n se hace cada vez más pequeño ( r n 0) y el capital acumulado se halla mediante la expresión: A = C e rt Ejercicios: Se dispone de un capital de 0000 euros. Se invierte dicho capital a interés compuesto del % durante años. En cada instante se van recibiendo los beneficios. Cuál será el capital al vencimiento? Sol.: 094,74 4. Logaritmo de un número. El logaritmo de un número en base a se define como el número al que hay que elevar a para obtener el número. a y = x log a x = y = 4 log 4 = Dos elevado a dos es 4, por lo tanto, el número al que hay que elevar a para obtener 4 es (log 4 = ). = 8 log 8 = Dos elevado a es 8, por lo tanto, el número al que hay que elevar a para obtener 8 es (log 8 = ). 4 = 6 log 6 = 4 = 9 log 9 = = 7 log 7 = 0 4 = 0000 log = 4 El logaritmo es, por tanto, la operación inversa a la potencia, igual que la división es la operación inversa del producto. Ejercicios: Calcular los siguientes logaritmos:. log. log. log 8 4. log log log log log 0 9. log 0. log

4 4. Logaritmo de un número Figura : Representación gráfica de la función f(x) = log x Figura 4: Representación gráfica de la función f(x) = log x.

5 4. Propiedades de los logaritmos. 5 Sol.:, 5, 4,,,, 7, 0, 0, 0 La representación gráfica de un logaritmo, f(x) = log x, se puede ver en la figura. En la figura 4 se puede ver también la representación de la función f(x) = log x. Las propiedades de la función logaritmo serán las siguientes:. El dominio de la función logaritmo está dado por Dom f(x) = (0, ). Es decir, sólo está definida para valores positivos.. La imagen de la función logaritmo está dada por Im f(x) = (, ).. Si la base del logaritmo es mayor que, la función es creciente. 4. Si la base del logaritmo está entre 0 y, la función es decreciente. Definición: Los logaritmos en base 0 reciben el nombre de logaritmos decimales. Se suelen representar poniendo el logaritmo sin la base: log x = log 0 x Definición: Los logaritmos en base e reciben el nombre de logaritmos neperianos. Se suelen representar poniendo el símbolo ln: ln x = log e x 4.. Propiedades de los logaritmos. Los logaritmos tienen la propiedad de convertir las multiplicaciones en sumas, las divisiones en restas, las potencias en multiplicaciones y la raíces en divisiones. log a (x y) = log a x + log a y log (4 6) = log 4 + log 6 = + 4 = 6 ( ) x log a = log y a x log a y ( ) 4 log = log 6 4 log 6 = 4 = log a (x y ) = y log a x log 4 = log 4 = = 4

6 5. Ecuaciones logarítmicas. 6 log a ( y x) = y log a x log 4 = log 4 = log a x = log b x log b a Esta propiedad es muy interesante para poder calcular el logaritmo en una base, partiendo de otra base distinta. Por ejemplo, se sabe que el log 9 = y log 7 = el log 9 7 sería: log 9 7 = log 7 log 9 = A veces aparecen expresiones en las que habrá que usar varias de las propiedades: log x y z = log x + log y log z Ejercicios: Desarrollar los siguientes logaritmos usando sus propiedades:. log ( ). log 8. log x y 4. log x y x y 5. log 0 6. log x y 4 x y 7. y log y x Sol.: 6,, log x + logy, log x,, log x + log y, log x 5. Ecuaciones logarítmicas. Una ecuación logarítmica es aquella en la que aparecen logaritmos conteniendo incógnitas. log(x + ) + log = log + Cuidado, por que: x + log = log No es una ecuación logarítmica, ya que, los logaritmos no contienen incógnitas.

7 5. Ecuaciones logarítmicas. 7 Para resolver estas ecuaciones habrá que aplicar las propiedades de los logaritmos en sentido inverso para, al final, obtener una igualdad entre dos logaritmos. Por ejemplo, se desea resolver: log(x + ) + log = log + Se aplican las propiedades de los logaritmos en sentido inverso, por ejemplo: log a (x y) = log a x + log a y log a x + log a y = log a (x y) ) ) log a ( x y = log a x log a y log a x log a y = log a ( x y Aplicado a este caso: log(x + ) + log = log + } {{ } } {{ } log[(x+) ] log( x ) log[(x + ) ] = log( x ) Cuando se obtiene la igualdad entre logaritmos hay que igualar los argumentos de los logaritmos y resolver la ecuación resultante. Si log[(x + ) ] = log( x ) evidentemente se deberá cumplir que: (x + ) = x Resolviendo: x + 4 = x x = 4 Todas las soluciones se deben comprobar siempre, ya que, el logaritmo de un número negativo no existe. Otro ejemplo, se va a resolver la siguiente ecuación: log(x ) + log = log x En este caso habrá que recordar la siguiente propiedad de los logaritmos: log a (x y ) = y log a x y log a x = log a (x y ) Aplicando las propiedades de los logaritmos en sentido inverso a la ecuación que se desea resolver: log(x ) + log } {{ } log[(x ) ] Como log[(x ) ] = log x evidentemente: Resolviendo: = logx } {{ } log x (x ) = x log[(x ) ] = log x (x ) = x 4x 4 = x 0 = x 4x + 4 x = Otra situación, que se suele dar, es que los logaritmos se encuentren en bases distintas. Todos los logaritmos deben estar en la misma base para poder ser operados. Para evitar este inconveniente habrá que usar la siguiente propiedad: log a x = log b x log b a log (x ) + log = log

8 6. Ecuaciones exponenciales. 8 En este caso el log (x ) es el único que tiene una base diferente. Aplicando las propiedades de los logaritmos: log (x ) + log = } {{ } log(x ) log log log(x ) log log(x ) log = + log = log log log(x ) log = log log log log(x ) = log log log(x ) = log log log(x ) = x x = log log x = log Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas:. log(x ) log = log(x + ) Sol.: x =, al comprobarla no funciona no tiene solución.. log(x + ) log(x + ) = Pista = log 00 Sol.: x = 99 98, al comprobarla no funciona no tiene solución.. log(5x ) log = log x Sol.: x = 4. log (5x) = log Sol.: x = log 5 6. Ecuaciones exponenciales. Empecemos recordando las propiedades de las potencias: a m a n = a n+m a n+m = a m a n a m a n = am n a m n = am a n (a m ) n = a m n a m n = (a m ) n Una ecuación exponencial será aquella donde la incógnita aparece en el exponente de alguna potencia. x 4 x+ = x x Para resolver una ecuación exponencial se seguirán los siguientes pasos: ❶ Se aplican las propiedades de las potencias hasta conseguir una igualdad entre dos potencias. Se va a resolver la ecuación: Aplicando las propiedades de las potencias: x 4 x+ = x x x 4 }{{} x+ x = ( ) } x {{ } x+ x ( x) x ( ) x+ = x ( x) x x+ = x x+x+ = x x+ = x

9 6. Ecuaciones exponenciales. 9 ❷ Una vez que ya se ha conseguido la igualdad entre las potencias, se toman logaritmos en ambos lados de la igualdad y se resuelve la ecuación resultante. x+ = x log x+ = log x Ahora se aplican las propiedades de los logaritmos para resolver la ecuación: log x+ = log x (x + )log = (x + )log x = log log log log Ejercicios:. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales: a) x = 5 x Sol.: x = b) x+ = 5 x+ Sol.: x = c) 4 x = 5 5 x Sol.: x = log log 5 log log 5 log 5 log log log 5 log 5 log log log 5. Después de días, un virus ha infectado a 000 personas. Si inicialmente estaba infectadas 0 personas y suponiendo un crecimiento exponencial, cuál es la tasa de crecimiento? Sol:,6. Se invierten 000 euros a un interés compuesto del %, cuyos intereses se abonan anualmente. Cuántos años hay que esperar para que dicha cantidad se duplique? Sol: t = log log,0 = 69,66 años

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