Descuento MATEMÁTICA FINANCIERA. Descuento. Descuento


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1 Descuento MATEMÁTICA FIACIERA DESCUETO SIMPLE Luis Alcalá USL Segundo Cuatrimeste 2016 En las operaciones comerciales, en general no se utiliza actualización para calcular el valor actual de un capital futuro. El método usado se conoce como descuento o descuento comercial). Este es el caso típico que ocurre, por ejemplo, con los cheques posdatados. El poseedor de un instrumento financiero cheque, documento, plazo fijo, etc.) con un valor nominal, podrá hacerlo efectivo en t años esta última cantidad no tiene por qué ser entera). Por algún motivo se necesita dinero en efectivo hoy para pagar una deuda, por una oportunidad de inversión, etc.). Entonces se acude a un intermediario financiero y se intercambia el instrumento por una suma en efectivo E, donde E <. Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / 22 Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / 22 Descuento Descuento D Definición La diferencia entre el efectivo E que un agente recibe y el valor nominal del documento entregado, recibe el nombre de descuento. E hoy dentro de t ańos D = E. 1) En esta operación puede pensarse que el intermediario se cobra los intereses al principio de la operación. La tasa que se usa es llamada tasa de descuento d, la cual tiene la particularidad que se aplica sobre el valor nominal. El descuento también puede realizarse durante varios períodos. Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / 22 Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / 22

2 Descuento Simple Descuento Simple Supongamos que quiere descontarse un documento, cuyo valor nominal es, por n p-períodos, con un intermediario financiero que cobra una tasa de descuento p-periódica d p). En el sistema de descuento simple lo que se descuenta cada p-período es igual a d p) Si llamamos E k al efectivo que recibiremos en el período k = 0, 1,..., n, tenemos la siguiente relación recursiva E n = E k = E k+1 D k, 0 k n 1. D = D 0 E = E 0 D 1 E 1 d p) D k+1 D k E k+1 E k E n = donde la condición inicial es E n = al momento n, D n = 0). 0 1 k k + 1 n Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / 22 Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / 22 Descuento Simple Operando en forma recursiva, podemos deducir la fórmula para el efectivo en cada período está dada por E n = E n 1 = E n d p) = d p) = 1 d p)) E n 2 = E n 1 d p) = d p) d p) = 1 2d p)) E n 3 = E n 2 d p) = d p) d p) d p) = 1 3d p)). E k = E k+1 d p) = ótese que E = E 0 = E 1 d p) = 1 n k)d p)), para 0 k n 1. 1 n 0)d p)) = 1 nd p)) Descuento Simple En términos de la tasa de descuento y el valor nominal, el descuento total) es D = nd p). 2) Observación Si n ó dp)) es suficientemente grande, el descuento comercial puede ser tan grande que anule el efectivo E = E 0 = 0 = 1 nd p)), 3) Esto ocurre si Si n > 1 d p) n = 1 d p). el valor de E es, de hecho, negativo. Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / 22 Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / 22

3 Descuento Simple Se desea hacer efectivo hoy un cheque a 5 días por $ Qué cantidad de efectivo recibiremos si acudimos a un banco que aplica una tasa de descuento diaria de 2,1%? Cuántos días hay que descontar el documento para que el efectivo sea nulo? El efectivo que recibiremos se calcula con 3) Finalmente, aproximadamente 47 días. E = , 021) = 895, D = = 105. n anulación = 1 = 47, , 0, 021 Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / 22 Equivalencia entre Tasas de Descuento Simple A partir de nuestra discusión sobre el sistema de capitalización simple, surge naturalmente la siguiente pregunta: dada una tasa de descuento q-períodica d q), cuál es la tasa de descuento p-periódica equivalente? Por definición de equivalencia de tasas, dados un monto en efectivo E, un valor nominal, un descuento de t períodos y dos tasas de descuento d p) y d q), con p, q Z, se dice que las tasas son equivalentes si producen igual efectivo: 1 qtd q)) = E = 1 ptd p)). De esta relación se obtiene la ecuación fundamental de equivalencia de tasas de descuento simple qd q) = pd p). 4) Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / 22 Equivalencia entre Tasas de Descuento Simple Equivalencia entre Tasas de Descuento Simple Observación E d p) t años d q) Como antes, usaremos d, en lugar de d 1), para designar una tasa de descuento anual. Dada una tasa de descuento anual del 10% hallar la tasa d p) equivalente, para p {2, 3, 4, 6, 12, 52, 360, 365}. La tasa de decuento cuatrimestral equivalente es por lo tanto, d = 3d 3) 0, 10 = 3d 3), d 3) = 0, , es decir, 10% anual es equivalente a 3, 33% cuatrimestral. Las restantes tasas se dejan como ejercicio. Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / 22 Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / 22

4 Equivalencia entre Tasas Descuento y Capitalización Simple Equivalencia entre Tasas Descuento y Capitalización Simple Dados un monto en efectivo E, un valor nominal, un descuento de t años, y p, q Z, se dice que la tasa de capitalización p-periódica i p) y la tasa de descuento q-períodica d q) son equivalentes si producen igual efectivo: 1 qtd q)) = E = 1 + pti p) ) Entonces, la ecuación fundamental de equivalencia entre tasas de capitalización simple y de descuento simple es 1 qtd q)) 1 + pti p)) = 1. 5) E i p) t años d q) Claramente, esta equivalencia no es independiente del tiempo t considerado. Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / 22 Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / 22 Equivalencia entre Tasas Descuento y Capitalización Simple Dada una tasa de descuento mensual del 8%, hallar la tasa de capitalización simple i 360) equivalente para una operación a 2 meses. De 5), Entonces 1 12 ) ) 2 12 d 12) ) ) i 360) = 1, 1 2 0, 08) i 360)) = 1. i 360) = 1 0,84 1 = 0, ó 0, 31746% diaria. 60 Es posible usar el descuento simple como ley financiera en la equivalencia financiera. Típicamente esto se hace cuando la fecha focal f escogida no es posterior a ninguna fecha de las series de capitales En principio, la única limitación que existe es lo que acuerden las partes involucradas. Puede usarse un sistema para capitalizar y otro para descontar, e inclusive se puede usar una tasa para actualizar o descontar) y otra para capitalizar. Veamos un ejemplo. Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / 22 Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / 22

5 Debemos realizar 3 pagos, el primero de $400 dentro de tres meses, el segundo de $300 dentro de 6 meses y el último de $500 a los 9 meses. Por razones de flujo de caja disponibilidad de efectivo) queremos sustituir estos 3 pagos por 2: uno de $500 dentro de 5 meses y otro de monto a determinar a los 10 meses. Calcular el monto del segundo pago si nro fecha sistema tasa de sistema tasa de focal actualiz. actualiz. capitaliz. capitaliz. 1. f = 0 descuento d 12) = 0, f = 6 descuento d 12) = 0, 020 descuento d 12) = 0, f = 5 descuento d 12) = 0, 020 descuento d 12) = 0, f = 6 descuento d 12) = 0, 025 simple i 12) = 0, f = 6 simple i 12) = 0, 025 descuento d 12) = 0, f = 6 descuento d 12) = 0, 030 simple i 12) = 0, f = 6 simple i 12) = 0, 050 descuento d 12) = 0, 030 Debemos igualar los valores a la fecha focal dada de ambas operaciones: valor de la valor de la operación original = operación nueva a la fecha focal f a la fecha focal f 1. Fecha focal el origen: f = 0. Descontamos todos los capitales al momento cero: , 03) , 03) , 03) = , 03) + C , 03) = , 70C concluimos que: C = 785, ota: en el apunte teórico-práctico hay un error) Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / 22 Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / Fecha focal a los seis meses: f = 6 Ahora debemos llevar todos los capitales a los seis meses, usando descuento , 02) = 1195, , C 1 4 0, 02) = 510, 2 + 0, 92C, 1 1 0, 02 C = 744, Por lo tanto el monto del segundo pago asciende a $744,89 al usar como fecha focal 6 meses y utilizar una tasa mensual de descuento comercial del 2%. 3. Fecha focal a los cinco meses: f = 5 Usaremos descuento, pero con diferentes tasas para descontar d 12) = 0, 02 y d 12) = 0, 05 para capitalizar: , 02) , 02) = 1198, , , 02) C = , 9C C = 775, Por lo tanto el monto del segundo pago asciende a $775,56 al usar como fecha focal el quinto mes y utilizar una tasa mensual de descuento comercial del 2% para descontar y una tasa de descuento del 5% para capitalizar. Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / 22 Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / 22

6 4. Fecha focal a los seis meses: f = 6 Usaremos descuento para actualizar, con tasa de decuento d 12) = 0, 025 y sistema simple para capitalizar, con una tasa i 12) = 0, 025: , 025) , 025) = 1192, , 025) + C 1 5 0, 025) = 512, 5 + 0, 875C C = 777, Por lo tanto, el monto del segundo pago asciende a $777,14 al usar como fecha focal el sexto mes y utilizar una tasa mensual de descuento comercial del 2,5% para actualizar y una tasa mensual simple del 2,5% para capitalizar. 7. Fecha focal a los seis meses: f = 6 Usaremos sistema simple para actualizar, con una tasa i 12) = 0, 05, y descuento para capitalizar, con tasa de descuento d 12) = 0, 03: , , 05 = 1174, , 03 + C C = 515, , 05 1, 25 C = 823, 55 Por lo tanto el monto del segundo pago asciende a $ 823,55 al usar como fecha focal el sexto mes y utilizar una tasa de interés mensual del 5% para actualizar y una tasa de descuento mensual del 3% para capitalizar. Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / 22 Luis Alcalá USL) DESCUETO SIMPLE Mat. Financiera / 22

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