Juan Antonio Flórez Uribe


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2 Juan Antonio Flórez Uribe Administrador de empresas de la Universidad Externado de Colombia, con estudios sobre Promoción Industrial en ciudades intermedias de la Universidad de los Andes. Tiene más de 24 años de experiencia profesional en el sector empresarial, especialmente en el área financiera. Docente de la cátedra universitaria Creación y Formulación de Proyectos de la Universidad Autónoma de Colombia, así como de otros temas en el ámbito financiero, como el de matemáticas financieras, gerencia y gestión financieras.

3 Matemáticas financieras empresariales Tercera edición Juan Antonio Flórez Uribe

4 Contenido Prólogo... IX Capítulo 1 Aspectos generales... 1 A. Exponentes... 1 Leyes de los exponentes... 2 B. Logaritmos... 3 Propiedades... 3 C. Definiciones básicas de matemáticas financieras... 5 Representación gráfica... 6 Anualidades... 8 Gradiente lineal Gradiente geométrico Gradiente escalonado Gradiente lineal escalonado vencido Gradiente geométrico escalonado vencido Capítulo 2 Tasas de interés Interés simple Clases Valor presente Interés compuesto Cálculo del tiempo y de la tasa de interés Cálculo del tiempo Cálculo de la tasa de interés Conversión de tasas Tasas equivalentes... 25

5 VI Matemáticas financieras empresariales Conversión de tasas Interpolación Tiempo equivalente Aplicaciones prácticas de las tasas de interés Certificado de depósitos a término Sobregiro bancario Devaluación Revaluación Tasa combinada (T C ) Tasa de interés ponderada (T P ) Ejercicios propuestos Capítulo 3 Anualidades Nomenclatura Anualidades vencidas Plan de amortización de obligaciones Plan de amortización Solución ejercicios aplicando la formulación del SIL Anualidades anticipadas Resumen de fórmulas para hallar anualidades anticipadas Anualidades diferidas Anualidades perpetuas Valor actual de las anualidades perpetuas vencidas Valor actual (P) de las anualidades perpetuas anticipadas Costos capitalizados Costo anual uniforme equivalente Ejercicios propuestos A. Anualidades vencidas B. Anualidades anticipadas C. Anualidades diferidas D. Anualidades perpetuas E. Costo anual uniforme equivalente - CAUE Capítulo 4 Gradientes Gradiente aritmético, lineal o uniforme (L) Cálculo de gradientes lineales (L) Gradiente lineal (L) vencido Gradiente lineal (L) anticipado Gradiente geométrico (G)

6 Contenido VII Cálculo de gradientes geométricos (G) vencidos Saldo deudas en los gradientes Ejemplos propuestos desarrollados con el apoyo del SIL Gradientes escalonados Gradiente lineal (L) escalonado vencido Gradiente geométrico (G) escalonado vencido Saldo de un gradiente geométrico escalonado Ejercicios propuestos Capítulo 5 Sistemas de amortización de créditos Sistemas de amortización Unidad de valor real (UVR) Cálculo de la UVR Capacidad de pago Sistemas de amortización de créditos para vivienda Sistemas de amortización de créditos en UVR Cuota fija en UVR o de amortización gradual en UVR Amortización constante a capital en UVR Cuota decreciente mensual en UVR cíclica por períodos anuales. 215 Sistemas de amortización de créditos en pesos Abono fijo a capital en pesos Amortización de cuota fija en pesos Otros sistemas de amortización de créditos Cuota fija periódica con abonos extraordinarios durante la vigencia del crédito Amortización crédito con período de gracia Amortización de créditos mediante el sistema de gradiente lineal creciente Amortización de créditos mediante el sistema de gradiente lineal decreciente Amortización de créditos mediante el sistema de gradiente geométrico creciente Amortización de créditos mediante el sistema de gradiente geométrico decreciente Capítulo 6 Las matemáticas financieras en la evaluación de proyectos de inversión Valor presente neto (VPN) Cálculo del flujo de fondos totalmente neto (FFTN)

7 VIII Matemáticas financieras empresariales Tasa interna de retorno (TIR) Tasa interna de retorno modificada (TIRM) Período promedio de recuperación de la inversión (PPRI) Cuadro base para el cálculo de (PPRI) Valor económico agregado (EVA) Ejercicios propuestos Anexos Resumen de fórmulas Conversión de tasas equivalentes Resumen de fórmulas para hallar anualidades vencidas Resumen de fórmulas para hallar anualidades anticipadas Valor actual de las anualidades perpetuas vencidas Costos capitalizados Gradiente lineal (L) vencido Conocido (R) a hallar el monto (S) Cálculo de una cuota R n Gradiente lineal (L) anticipado Cálculo de gradientes geométricos (G) vencidos Gradientes escalonados Gradiente lineal (L) escalonado vencido Gradiente geométrico (G) escalonado vencido

8 Prólogo A través de mi experiencia en el sector financiero y luego en el académico, he notado en estudiantes de las diferentes áreas administrativas y contables, así como en personas que, de una u otra forma tienen la necesidad de abordar y aclarar conceptos relacionados con el comportamiento del dinero a través del tiempo, la dificultad en la asimilación de conceptos financieros que permitan aclarar los resultados económicos y monetarios que los puede llevar a la toma de una decisión, cuando se tiene en cuenta factores como modo, tiempo, tasas de interés, etc. Esta tercera edición que someto a consideración de los lectores, incluye la ampliación de una serie de conceptos básicos, los cuales permiten aclarar la forma de definir el interés del período y la interpretación del tiempo en años, meses y días, proponiendo una metodología sencilla que permita entender la diferencia-ción en el manejo del tiempo y la tasa de interés. La metodología propuesta busca la forma más sencilla y comprensible de entender el manejo de las matemáticas aplicadas al sistema financiero, partiendo de la existencia de fórmulas, que al identificarlas y utilizarlas, contribuyan a facilitar la solución de problemas financieros que con frecuencia se presentan en toda empresa. Con frecuencia aparecen en el mercado herramientas que facilitan los cálculos de propuestas financieras, algunas de ellas con un costo significativo. Como aporte a la solución rápida de problemas, se ha diseñado en el SIL, un programa en Excel que, bajo unos simbolismos, realiza los respectivos cálculos para apoyar la toma de decisiones en una empresa. Las fórmulas que contiene el libro, en su mayoría, han sido propuestas en forma matricial, es decir, en el eje horizontal del respectivo cuadro se identifica la información que se conoce y en el vertical, la que se va hallar.

9 X Matemáticas financieras empresariales El libro, a través de los seis capítulos que contiene presenta aspectos generales para realizar el despeje de fórmulas, con el apoyo de expresiones algebraicas, y que permita la interpretación en la toma de decisiones financieras en la empresa. Es así como en los capítulos 1 y 2 se manejan los conceptos básicos y especialmente, el de tasas de interés. Se incluyen las dos formas de reconocerlas; que de acuerdo con la forma de pago, se puede estar aplicando el concepto de interés simple o interés compuesto; la forma como se reconocen y pagan, que pueden ser anticipada o vencida; así como la conversión de tasas, de anticipadas a vencidas o viceversa. Así mismo, se desarrolla un sistema de interpolación, herramienta que permite obtener información que de otra forma haría compleja su forma de calcularla. Finaliza el capítulo 2 proponiendo el concepto de tiempo equivalente. El capítulo 3 está dedicado al manejo del concepto de anualidades, propone los sistemas de cuotas fijas periódicas que con más frecuencia se encuentran en el estudio de las matemáticas financieras. Se explica, en el capítulo 4, el tema de los gradientes y su manejo, el cual se considera como la forma abreviada de solucionar anualidades. Dependiendo del comportamiento de la información, se puedan aplicar los conceptos de gradiente lineal o geométrico y de acuerdo con su comportamiento, se puede identificar si se está en presencia de un gradiente anticipado, vencido o si es escalonado y vencido. Con esta herramienta se explican los conceptos de préstamos para adquirir vivienda. El sistema de amortización de créditos tratado en el capítulo 5, es de importancia dada la necesidad de conocer la forma de aplicación de los pagos periódicos que se realizan a un préstamo para vivienda; se incluyen las tablas de amortización de los diferentes sistemas de amortización de créditos vigentes en Colombia, así como otros métodos aplicados en el sistema financiero. Finalmente, el capítulo 6 destaca la importancia que presenta la aplicación de las matemáticas financieras en la evaluación de proyectos de inversión; se propone la aplicación de algunos conceptos en la evaluación financiera de proyectos. Para la comprensión de los diferentes temas del libro, se incluyen ejemplos realizados por el autor, así como una serie de ejercicios, en cantidad suficiente y los cuales incluyen sus respectivas respuestas, para que sean realizados por los estudiosos del tema.

10 Capítulo 1 Aspectos generales Por su importancia en el desarrollo de temas y ejercicios sobre matemáticas financieras, a continuación se hará una breve reseña sobre la forma de realizar despejes de fórmulas, con el concurso de expresiones algebraicas, así como se contextualiza los conceptos básicos de interés y su representación gráfica. A. Exponentes Toda expresión algebraica se compone de tres elementos: coeficiente, base y exponente. Ejemplo: 3X 6, en donde 3 es el coeficiente, X es la base y 6 el exponente. 3X 6 Exponente Base Coeficiente El coeficiente numérico indica las veces que ésta se toma como sumando. Ejemplo: 3X 6, quiere decir que la base X se suma tres veces, así: 3x 6 =X 6 +X 6 + X 6 = X 6 (1+1+1) = X 6 (3) = 3X 6

11 Otros títulos de interés: Gestión financiera Marcial Córdoba Padilla Introducción al análisis de riesgo financiero Julio Cesar Alonso Evaluación financiera de proyectos Jhonny de Jesús Meza Modelos financieros con Excel Jairo Gutiérrez Carmona Matemáticas financieras con fórmulas, calculadora financiera y Excel Jairo Gutiérrez Carmona

12 Matemáticas Financieras Empresariales A través de mi experiencia en el sector financiero y luego en el académico, he notado en estudiantes de las diferentes áreas administrativas y contables, así como en personas quienes de una u otra forma tienen la necesidad de abordar y aclarar conceptos relacionados con el comportamiento del dinero a través del tiempo, la dificultad en la asimilación de conceptos financieros que permitan aclarar los resultados económicos y monetarios para poder llegar a la toma de una decisión, cuando se tiene en cuenta consideraciones como modo, tiempo, tasas de interés, etc. En esta edición se han ampliado algunos conceptos que considero importantes para los estudiosos del tema, pero sin perder el horizonte de hacer más sencillo y comprensible el manejo de las matemáticas aplicadas al sistema financiero. Su forma de estudiarlas se inicia con la identificación del procedimiento que permita identificar la fórmula que, al aplicarla, facilite la interpretación y contribuya a la solución de problemas financieros presentados con frecuencia en toda empresa. En la parte final de esta obra, se agrupan las fórmulas más importantes aplicadas a los diferentes ejemplos y ejercicios propuestos en los capítulos del libro. Colección: Ciencias empresariales Área: Contabilidad y finanzas ISBN

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