MATEMÁTICAS 1º DE ESO


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1 MATEMÁTICAS 1º DE ESO LOMCE TEMA X: POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIAS Triángulos. Elementos y relaciones. Tipos de triángulos. Rectas y puntos notables: o Mediatrices y circuncentro. o Bisectrices e incentro. o Medianas y baricentro. o Alturas y ortocentro. Construcción de triángulos. Triángulos rectángulos. Teorema de Pitágoras. Cuadriláteros. Propiedades de los paralelogramos. Circunferencias. Posiciones relativas en el plano. Polígonos regulares e inscritos. Ricardo Esteban Alonso Página 1

2 TRIÁNGULOS. ELEMENTOS Y RELACIONES Un triángulo es un polígono de tres lados y tres ángulos. Se pueden describir mediante letras: los vértices con las letras mayúsculas A, B y C y los lados opuestos con minúsculas a, b y c, respectivamente. La altura (h) es la distancia desde el vértice al lado opuesto y siempre es perpendicular, pudiendo no caer sobre el lado opuesto y si sobre su prolongación. La suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a dos rectos: 180º Cualquier lado de un triángulo es menor (más corto) que la suma de los otros lados: a < b + c PROPIEDAD TRIANGULAR TIPOS DE TRIÁNGULOS Según sus lados se clasifican en: Equilátero: 3 lados y 3 ángulos iguales Isósceles: 2 lados y 2 ángulos iguales Escaleno: los tres lados y ángulos desiguales Ricardo Esteban Alonso Página 2

3 Según sus ángulos pueden ser: Acutángulo: los tres ángulos agudos Rectángulo: tiene un ángulo recto y dos agudos Obtusángulo: con un ángulo obtuso y dos agudos Los tres pueden ser isósceles o escalenos, pero sólo el acutángulo puede ser equilátero. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES Las rectas notables son: mediatrices, bisectrices, medianas y alturas de un triángulo. MEDIATRICES y el punto donde se cortan se llaman circuncentro, y equidista de los vértices del triángulo. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Ricardo Esteban Alonso Página 3

4 BISECTRICES y el punto donde se cortan se llama incentro, y equidista de los lados del triángulo, y es el centro de una circunferencia tangente a los tres lados. MEDIANAS, son las rectas que pasan por cada uno de los vértices y el punto medio del lado opuesto; el punto donde se cortan las tres medianas es el centro de gravedad del triángulo y se llama baricentro. ALTURAS, que son las rectas perpendiculares trazadas desde cada vértice al lado opuesto, y el punto donde se cortan se llama ortocentro. Dependiendo del tipo de triángulo el ortocentro puede estar dentro triángulo. o fuera del El circuncentro, ortocentro y baricentro forman la llamada recta de Euler, que veremos en segundo, ya que los tres puntos siempre están alineados en una recta. Ricardo Esteban Alonso Página 4

5 CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS Para construir un triángulo hacen falta conocer, como mínimo, tres de sus elementos. Se pueden dar tres casos: Conociendo los tres lados La longitud del lado mayor tiene que medir menos que la suma de los otros dos lados. De lo contrario no se puede construir (por la propiedad triangular). Para construirlo hace falta el compás y una regla: Conociendo dos lados y el ángulo que forman entre los dos lados Ricardo Esteban Alonso Página 5

6 Conociendo un lado y los dos ángulos contiguos Se tiene que cumplir que la suma de los dos ángulos dados sea menor de 180º De la construcción de los tres casos de un triángulo se pueden deducir los criterios de igualdad de triángulos: 1. Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales respectivamente. 2. Son iguales si tienen dos lados y el ángulo comprendido igual. 3. Dos triángulos son iguales si tienen un lado y los dos ángulos contiguos iguales. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. TEOREMA DE PITÁGORAS Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto. Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa (es el lado mayor). Un triángulo rectángulo cuando sus catetos son iguales también es isósceles. El teorema de Pitágoras nos dice que en todo triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: Ricardo Esteban Alonso Página 6

7 La interpretación geométrica del teorema de Pitágoras nos dice que el área del cuadrado que se forma sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados que se forman sobre los catetos. Ricardo Esteban Alonso Página 7

8 CUADRILÁTEROS Son polígonos de cuatro lados y cuatro ángulos y por lo tanto con dos diagonales. Sus cuatro ángulos suman 360º. Podemos clasificarlos en paralelogramos, trapecios y trapezoides. Ricardo Esteban Alonso Página 8

9 PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS Los paralelogramos son cuadriláteros con los lados opuestos paralelos con las siguientes propiedades: Tienen iguales sus lados y ángulos opuestos. Dos ángulos consecutivos son suplementarios. Las diagonales se cortan en su punto medio (bisecan al paralelogramo, es decir lo dividen en dos partes iguales) Si un cuadrilátero cumple alguna de las tres propiedades podemos afirmar que es un paralelogramo. CIRCUNFERENCIAS Una circunferencia es una línea curva, cerrada y plana cuyos puntos equidistan (están a la misma distancia) de un punto interior, llamado centro. Los elementos y líneas principales de una circunferencia son: Los ángulos en la circunferencia se llaman: Ángulo central: que tiene su vértice en el centro de la circunferencia. Ángulo inscrito: tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes a la circunferencia. Ángulo inscrito en una semicircunferencia: todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. Ricardo Esteban Alonso Página 9

10 POSICIONES RELATIVAS EN EL PLANO A) Posiciones relativas de una recta y una circunferencia: B) Posiciones relativas de dos circunferencias: Ricardo Esteban Alonso Página 10

11 POLÍGONOS REGULARES E INSCRITOS Un polígono es regular cuando tiene sus lados y ángulos iguales. Sus elementos característicos son: Centro: punto interior del polígono que se encuentra a igual distancia de todos los vértices. Radio: segmento que une el centro con un vértice. El centro y el radio lo son también de la circunferencia circunscrita (por fuera) al polígono. Apotema: segmento perpendicular al lado, que une el centro con el punto medio del lado. La medida de un ángulo central de cualquier polígono regular mide 360º : n (número de lados) La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo es igual a tantas veces 180º (ángulo llano) como lados tenga el polígono menos dos: Suma de los ángulos = (n 2) 180 Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices son puntos de ella, y así decimos que la circunferencia está circunscrita al polígono. Cualquier polígono regular inscrito se puede descomponer en triángulos isósceles. Ricardo Esteban Alonso Página 11

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