Matemáticas Financieras Problemas resueltos Tema 2 GADE-FICO


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1 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) Matemáticas Financieras Problemas resueltos Tema GADE-FICO. Un grupo de personas estudia la posibilidad de abrir una guardería. Hoy de Enero pretende conocer el valor actual de los gastos de los próximos 5 años valorando a un 4% capitalizable semestralmente. Calcular dicho valor actual si esos gastos son los siguientes: Alquiler del local,. euros mensuales durante los 5 años. Coste del personal, euros mensuales más dos pagas extras en junio y diciembre de 4. euros. Estos gastos se prevé que aumenten un 3% anual acumulativo a causa del IPC previsto. Gastos de mantenimiento de euros al final de los meses de mayo, junio y julio, aumentando estas cantidades en los años sucesivos en 3 euros respecto del mismo mes del año anterior. : Alquiler del local J = 4% = i =, 4 =, = i = ( + i ) = (, ) = i =, Dado que la renta de los alquileres es una renta mensual, calculamos el tanto de interés mensual equivalente, i. i = + i =, 44 =, Observemos que también podríamos haber calculado i como i = 6 + i ). Por tanto el valor actual del alquiler del local será : Coste del personal A Alq =. +. a 59 i = 65.47, 7454 o bien A Alq =. a 6 i ( + i ) S S = s i + 4. s i = 69.83, 5559 = S = 69.83, 5559 euros Observemos que hemos considerado la renta de las pagas extras como una renta independiente de la de los sueldos. (,3) (,3) (,3) (,3) (,3) ( +4.)(,3) (,3) (,3) (,3) (,3) (,3) ( +4.)(,3) S

2 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) S = (, 3) s i + 4. (, 3) s i = ( s i + 4. s i =S ) (, 3) = S = S (, 3) Obtenemos por tanto una renta anual variable en progresión geométrica de primer término S = 69.83, 5559 euros y razón q =, 3 (con q + i). S S (,3) S (,3) S (,3) 3 S (,3) A costepers. = S (, 3) 5 (, 44) 5, 44, 3 = 35.9, 9774 = A costepers. = 35.9, 9774 euros Gastos de mantenimiento S' S = s 3 i ( + i ) 5 = 6., = S = 6., euros S' Observemos que: S =.3 s 3 i ( + i ) 5 = 738, 5553 = S = 738, 5553 euros S =.3 s 3 i ( + i ) 5 = ( + 3) s 3 i ( + i ) 5 = s 3 i ( + i ) s 3 i ( + i ) 5 =S =p por lo que p = 3 s 3 i ( + i ) 5 = 98, 3333 euros. También podríamos haber calculado p como p = S S. Obtenemos por tanto una renta anual variable en progresión aritmética de primer término S = 6., euros y diferencia p = 98, 3333 euros: S' S' +p S' +p S' +3p S' +4p A Mant. = S p a 5,44 +, 44 (a 5,44 5 (, 44) 5 ) = 35.55, 9875 = A Mants. = 35.55, 9875 euros Por lo que el valor actual de todos los gastos será: A T ot. = A Alq + A costepers. + A Mants. = A T ot. = , 987 euros

3 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) 3. Un fabricante de juguetes desea estimar los beneficios que obtendrá durante los próximos años. Se sabe que los gastos en concepto de salarios ascienden a. = mensuales postpagables durante los meses de enero a agosto y de 33. = de septiembre a diciembre debido al incremento de la producción. Estos salarios aumentarán un 3% anual acumulativo. La materia prima se suministra al final que cada semestre y sus costes ascienden a. = cada semestre el primer año, incrementándose estas cantidades cada año en. euros respecto al mismo semestre del año anterior. Se estima que las ventas del primer año ascenderán a euros de enero a septiembre y a euros de octubre a diciembre, incrementándose estas cantidades en un 4,4% anual acumulativo. Calcular con fecha de enero dichos beneficios si utilizamos un tanto de valoración del 3,98975% nominal trimestral. : Calculemos antes de nada los tantos de interés trimestral, anual, semestral y mensual equivalentes, que nos harán falta en el transcurso de la solución del problema: J 4 =, % = i 4 = Salarios, =, = i = ( + i 4 ) 4 =, 44 = i =, 44 i =, 44 = i =, i =, 44 = i =, S S =. s 8 i ( + i ) s 4 i =.864, 69 = S =.864, 69 euros.(,3).(,3).(,3).(,3).(,3).(,3).(,3).(,3) 33.(,3) 33.(,3) 33.(,3) 33.(,3) S S =.(, 3) s 8 i ( + i ) (, 3) s 4 i (.(, 3) s 8 i ( + i ) (, 3) s 4 i ) (, 3) =S = S = S (, 3) Obtenemos por tanto una renta anual variable en progresión geométrica de primer término S =.864, 69 euros y razón q =, 3 (con q + i). S S (,3) S (,3) S (,3) 9 3 A Salarios = S (, 3) (, 44), 44, 3 =.48.66, 53 = A Salarios =.48.66, 53 euros

4 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) 4 Materia Prima S' S' S' S =. s i = = S = euros S =. s i = 4. = S = 4. euros = p = S S =. euros Obtenemos por tanto una renta anual variable en progresión aritmética de primer término S = euros y diferencia p =. euros: S' S' +p S' +p S' +9p 3 A Mat.P rima = S a,44 + p, 44 (a,44 (, 44) ) = , 7 = A Mat.P rima = , 7 euros Ventas Primer y segundo año: S'' S = s 9 i ( + i ) 3 + s 3 i = 437.8, 5484 = S = 437.8, 5484 euros (,44) (,44) (,44) (,44) (,44) (,44) (,44) (,44) (,44) (,44) (,44) (,44) S'' S = (, 44) s 9 i (+i ) 3 +(, 44) s 3 i ((, 44) s 9 i ( + i ) 3 + (, 44) s 3 i ) (, 44) =S = S = S (, 44)

5 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) 5 Obtenemos por tanto una renta anual variable en progresión geométrica de primer término S = 437.8, 5484 euros y razón q =, 44 (con q = + i). S'' S''(,44) S'' (,44) S'' (,44) 9 3 A V entas = S (, 44) = 4..54, 3 = A V entas = 4..54, 3 euros Por lo que el valor actual de los beneficio será: A Benef. = A V entas A Sal. A V ent. = A Benf. = 45.84, 69 euros 3. Obtener (desarrollando), el valor actual de una renta postpagable, anual e inmediata, temporal de n términos variables en progresión geométrica de primer término a y razón q, valorada a tanto anual efectivo i con q +i. El esquema de la renta dada es: a aq aq aq n- 3 n Para calcular el valor actual de la renta, debemos calcular la suma de los valores actuales de todos sus términos: A = a ( + i) + a q( + i) + a q ( + i) a q n ( + i) n = = a [( + i) + q( + i) + q ( + i) q n ( + i) n ] = [ ( + i) q n ( + i) n q( + i) ] ( + i) [ q n ( + i) n ] = a q( + i) = a q = + i = a + i [ qn ( + i) n ] q n ( + i) n = a + i q + i q + i = A = a q n ( + i) n + i q

6 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) 6 4. Una empresa que se dedica al mantenimiento informático, prevé que va a tener los siguientes ingresos los próximos diez años: Al final de cada mes, con excepción de julio y agosto en los que permanece cerrada, ingresos de = durante el primer año, incrementándose un 3% anual acumulativo en los años siguientes. Ingresos extras al final de los dos primeros trimestres de cada año, siendo de 3. = durante el primer año, aumentando estas cantidades anualmente en 4 = (y manteniéndose constantes dentro del año) Calcular el valor actual de los ingresos si valoramos al 4% anual efectivo. Ingresos habituales Como la renta de ingresos habituales es mensual, debemos calcular el tanto mensual efectivo equivalente: i = 4% = i =, 4 = i =, S Observemos que la renta no es homogénea, ya que tiene huecos en los meses de julio y agosto, por tanto no podemos considerar términos consecutivos, por lo que habrá que dividir la renta en dos, una de enero a junio y otra de septiembre a diciembre, por tanto: S = s 6 i ( + i ) 6 + s 4 i = 8.5, 458 = = S = 8.5, 458 = (,3) (,3) (,3) (,3) (,3) (,3) (,3) (,3) (,3) (,3) S S = (, 3) s 6 i ( + i ) 6 + (, 3) s 4 i = [ s 6 i ( + i ) 6 + s 4 i ] (, 3) = =S = S = S (, 3)

7 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) 7 Obtenemos por tanto una renta anual variable en progresión geométrica de primer término S = 8.5, 458 = y razón q =, 3 (con q + i). S S(,3) S(,3) S(,3) 9 3 A Ingr. habituales = S (, 3) (, 4), 4, 3 = , 983 = = A Ing. habituales = , 983 = Ingresos extras Como la renta de ingresos extras es trimestral, debemos calcular el tanto trimestral efectivo equivalente: Veamos un esquema completo de la situación: i = 4% = i 4 = 4, 4 = i =, S' S' S' S = 3. s i4 ( + i 4 ) = 6.48, 9694 = S = 6.48, 9694 = S = 3.4 s 4 i4 ( + i 4 ) = 6.968, 8358 = S = 6.968, 8358 = = p = S S = 89, = Obtenemos por tanto una renta anual variable en progresión aritmética de primer término S = 6.48, 9694 = y diferencia p = 89, = : S S+p S+p S+9p 3 A Ing. extras = S a,4 + p, 4 (a,4 (, 4) ) = 77.65, = A Ing. extras = 77.65, = A T otal = A Ingr. habituales + A Ing. extras = A T otal = , 68 =

8 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) 8 5. Queremos alquilar un local para los próximos años, por el que nos piden = mensuales durante el primer año. Estas cantidades crecerán un 5% anual acumulativo en los años siguientes. Calcular el valor actual del alquiler si utilizamos un tanto de interés efectivo anual del 5%. Como la renta es mensual, debemos calcular el tanto mensual efectivo equivalente: i = 5% = i =, 5 = i =, S Observemos que la renta es prepagable al tratarse de alquileres, por tanto: S = s i ( + i ) = 7.393, = (,5) (,5) (,5) (,5) (,5) (,5) (,5) (,5) (,5) (,5) (,5) (,5) S S = (, 5)s i ( + i ) = [s i ( + i ) =S ] (, 5) = S (, 5) Obtenemos por tanto una renta anual variable en progresión geométrica de primer término S = 7.393, = y razón q =, 5 (con q = + i). S S(,5) S(,5) S(,5) 9 3 A = S (, 5) = 7.44, 788 = = A = 7.44, 788 =

9 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) 9 6. Obtener (desarrollando), el valor actual de una renta postpagable, anual e inmediata, temporal de n términos constantes de cuantía a, valorada a tanto anual efectivo i. El esquema de la renta dada es: a a a a 3 n Para calcular el valor actual de la renta, debemos calcular la suma de los valores actuales de todos sus términos: A = a( + i) + a( + i) + a( + i) a( + i) n = [ ( + i) = a[( + i) + ( + i) + ( + i) ( + i) n ( + i) n ( + i) ] ] = a ( + i) = = a ( + i) [ ( + i) n ] + i = + i [ ( + i) n ] + i + i = a ( + i) n }{{ i } =a n i = A = a a n i 7. Una empresa que se dedica al mantenimiento informático, prevé que va a tener los siguientes gastos los próximos diez años: Al final de cada mes, con excepción de agosto en el que permanece cerrada, gastos de euros durante el primer año, incrementándose un 4% acumulativo en los años siguientes. Gastos extras al principio de los cinco primeros meses de cada año, siendo de 5 euros cada mes durante el primer año, aumentando estas cantidades anualmente en euros (y manteniéndose constantes dentro del año). Calcular el valor actual de los gastos si valoramos al 4% anual efectivo. Gastos habituales Como la renta de gastos habituales es mensual, debemos calcular el tanto mensual efectivo equivalente: i = 4% = i =, 4 = i =, S Observemos que la renta no es homogénea, ya que tiene un hueco en el mes de agosto, por tanto no podemos considerar términos consecutivos, por lo que habrá que dividir la renta en dos, una de enero a julio y otra de septiembre a diciembre, por tanto: S = s 7 i ( + i ) 5 + s 4 i =.4, 5654 = = S =.4, 5654 =

10 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) (,4) (,4) (,4) (,4) (,4) (,4) (,4) (,4) (,4) (,4) (,4) S S = (, 4) s 7 i ( + i ) 5 + (, 4) s 4 i = [ s 7 i ( + i ) 5 + s 4 i ] (, 4) = =S = S = S (, 4) Obtenemos por tanto una renta anual variable en progresión geométrica de primer término S =.4, 5654 = y razón q =, 4 (con q = + i). S S(,4) S(,4) S(,4) 9 3 A Gastos habituales = S (, 4) = 5.486, 58 = = A Ing. habituales = 5.486, 58 = Gastos extras Como la renta de ingresos extras es mensual, nos vale el mismo interés efectivo mensual que utilizamos en el cálculo anterior. Además debemos tener en cuenta que la renta es prepagable S S = 5 s 5 i ( + i ) 8 =.583, = S =.583, = S S+p S+p S+9p 3 S = s 5 i ( + i ) 8 = 3.99, = S = 3.99, = S =.583, = S = 3.99, = = p = S S = 56, =

11 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) Obtenemos por tanto una renta anual variable en progresión aritmética de primer término S =.583, = y diferencia p = 56, = : S S+p S+p S+9p 3 A Gastos extras = S a,4 + p, 4 (a,4 (, 4) ) = , 859 = A Gastos extras = , 859 = A T otal = A Gastos habituales + A Gastos extras = A T otal = 53.94, 57 = 8. Calcular el montante(valor final) que podremos obtener dentro de años valorando al 5% anual efectivo, si realizamos las siguientes imposiciones: euros al final de cada trimestre durante el primer año, incrementado estas cantidades un % anual acumulativo en los años siguientes (y manteniéndose constantes dentro del año). Como la renta es trimestral, debemos calcular el tanto trimestral efectivo equivalente: Veamos un esquema completo de la situación: i = 5% = i 4 = 4, 5 = i =, 734 (,) (,) (,) (,) (,) 9 (,) 9 (,) S S S (,) 9 S = s 4 i4 =.444, 5463 = S = (, )s 4 i4 = [s 4 i4 =S ] (, ) = S (, ) Obtenemos por tanto una renta anual variable en progresión geométrica de primer término S =.444, 5463 = y razón q =, (con q + i). S S(,) S(,) S(,) 9 3 S = S (, 5) (, ), 5, = 33.4, 6733 = = S = 33.4, 6733 =

12 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) 9. Calcular el valor actual, utilizando un tanto de valoración del % semestral efectivo, de los gastos de alquiler de una nave industrial que tendremos alquilada durante los próximos años, si el pago se hace semestralmente, ascendiendo éstos a euros durante los dos semestres del primer año, y estas cantidades se incrementan un 4, 4% anual acumulativo en los años siguientes. La renta constante dentro del año es semestral, y el tanto que nos dan es también semestral, i =,. El tanto anual que debemos utilizar más tarde sería: i = ( + i ) = (, ) =, 44 Veamos un esquema completo de la situación, teniendo en cuenta que al tratarse de alquileres, los pagos son al principio de cada semestre : (,44) (,44) (,44) (,44) 9 (,44) 9 (,44) 3 9 S S S S = s i. (, ) =.3 = S = (, 44)s, = [s, =S ] (, 44) = S (, 44) Obtenemos por tanto una renta anual variable en progresión geométrica de primer término S =.3 = y razón q =, 44 (con q = + i). S S(,44) S(,44) S(,44) 9 3 A = S (, 44) = 98.39, 5 = = A = 98.39, 5 =

13 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla) 3. Hoy invertimos euros en un banco que nos ofrece un 5% anual efectivo, a cambio de que nos entreguen mensualmente y a partir del próximo mes, euros, durante cuánto tiempo dispondremos de estos pagos?. En caso de que el resultado no sea entero, redondear por defecto y modificar la cuantía del último pago. ( punto) Como la renta que nos entregarán es mensual, debemos calcular el tanto mensual efectivo equivalente: i = 5% = i =, 5 = i =, El esquema de la situación, teniendo en cuanta que los periodos representados son meses, sería: n Tiempo en meses Por tanto, el valor actual de la renta mensual de cuantía. = invertida, es decir, =, por tanto: y n términos debe ser igual a la cantidad =. a n i = a n i = 7, 659 = ( + i ) n i = 7, 659 = (, ) n, = 7, 659 = (, ) n =, = (, ) n =, = log(, ) n = log(, ) log(, ) n = = n = 4, = n 4 pagos log(, ) Por tanto recibiremos. = durante los próximos 4 meses

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