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1 3º ESO E UNIDAD 11.- GEOMETRÍA DEL PLANO PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ Lugares geométricos Se llama lugar geométrico a todos los puntos del plano que cumplen una propiedad geométrica Ejemplos: Mediatriz de un segmento AB Bisectriz de un ángulo Es el conjunto de puntos que equidistan de los Es el conjunto de puntos que equidistan de extremos A y B. los lados del ángulo. La mediatriz es la recta perpendicular al segmento que La bisectriz es la recta que divide al ángulo pasa por su punto medio, M. en dos partes iguales. La recta con trazo discontinuo es la mediatriz del La línea con trazo discontinuo es la segmento AB bisectriz del ángulo Ejercicio 1 Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas paralelas Haz un dibujo Hacer actividades y 86, del libro.-triángulos Tipos de triángulos Equilátero Tiene los tres lados y los tres ángulos iguales Isósceles Tiene dos lados y ángulos iguales y el otro desigual Escaleno Tiene los tres lados y los tres ángulos desiguales Triángulo rectángulo Tiene un ángulo recto Propiedades elementales de los triángulos - En todo triángulo, la suma de los tres ángulos es igual a 180º Como consecuencia, en los triángulos equiláteros cada ángulo mide 60º - En cualquier triángulo, cada lado mide menos que la suma de los otros dos lados Ejercicio En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide 0º. Cuánto mide cada uno de los ángulos iguales? Hacer actividades 1 y, de la ficha

2 3.- Puntos y rectas notables en un triángulo Mediatrices de un triángulo Son las mediatrices de sus lados. Las tres mediatrices se cortan en un mismo punto, llamado circuncentro. El circuncentro, C, equidista de los vértices y es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo Bisectrices de un triángulo Son las bisectrices de sus ángulos. Las tres bisectrices se cortan en un mismo punto, llamado incentro. El incentro, I, equidista de los lados y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo Alturas de un triángulo Son las rectas que pasan por un vértice y son perpendiculares al lado opuesto. Las tres alturas se cortan en un mismo punto, llamado ortocentro, O. Medianas de un triángulo Son las rectas que pasan por un vértice y por el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se cortan en un mismo punto, llamado baricentro, G. La distancia del baricentro al vértice es el doble que su distancia al punto medio del lado opuesto Cada mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual área Ejercicio 3 Tres pueblos A, B y C forman un triángulo y están unidos por carreteras. a) Si se quiere construir una gasolinera que equidiste de los 3 pueblos. Dónde debe construirse? b) Si se quiere construir una gasolinera que equidiste de las 3 carreteras. Dónde debe construirse? Ejercicio 4 El baricentro de un triángulo está situado a 6 cm de uno de sus vértices. Halla la longitud de la mediana relativa a dicho vértice Hacer actividades 3, 4 y 5, de la ficha y 8, 9 y 88, del libro 4.- Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos hipot = cat + cat Ejercicio 5 Cuatro pueblos A, B, C y D están unidos por carreteras rectas, según la figura Halla la distancia entre los pueblos a) A y D b) A y C Hacer actividad 6, de la ficha Página

3 5.- Área de un triángulo El área de un triángulo es igual a base por altura dividido entre base. altura A = Ejercicio 6 Halla la superficie de una señal de tráfico que tiene forma de triángulo equilátero de 18 cm de altura. Hacer actividad 7, de la ficha y 75, del libro 6.- Área de los cuadriláteros Rectángulo Cuadrado Rombo Trapecio A = base. altura A = lado Ejercicio 7 El patio de un colegio tiene 40 m de largo y 50 m de diagonal. Halla su superficie y su perímetro. Ejercicio 8 Una mesa cuadrada tiene 60 cm de diagonal. Halla su perímetro y su superficie. Ejercicio 9 Un jardín con forma de rombo se ha rodeado con una valla de 60 m. Calcula su superficie sabiendo que la diagonal menor mide 9 m. Ejercicio 10 En una ciudad hay una plaza con forma de trapecio isósceles y cuyos lados miden: Base mayor: 36 m ; base menor: 16 m ; lados oblicuos: 6 m cada uno. Cuánto costará enlosar la plaza a razón de 1,50 /m? Ejercicio 11 Calcula el área de la zona sombreada sabiendo que el cuadrado tiene 1 cm de diagonal. Hacer actividades 8, 9, 10 y 11, de la ficha y 73 y 77, del libro Página 3

4 7.- Polígonos en general Un polígono es una figura geométrica limitada por segmentos, llamados lados. Los polígonos tienen nombres específicos según el número de lados: Triángulos (3 lados) ; cuadriláteros (4 lados) ; pentágonos (5 lados) ; hexágonos (6 lados); heptágonos (7 lados); octógonos (8 lados) ; eneágonos (9 lados); decágonos (10 lados) ; undecágonos (11 lados); dodecágonos (1 lados) ;. ; icoságono (0 lados) ; Polígono irregular Tiene los lados y los ángulos desiguales Polígono regular Tiene los lados y los ángulos iguales!"# $!% & '(%$ #) ' * Ejercicio 1 Calcula la superficie que ocupa un panal de abejas que tiene 10 celdillas, si cada celdilla es un hexágono regular de 5 mm de apotema. Ejercicio 13 Cuánto debe valer x para que la superficie del octógono regular sea m? Hacer actividades 1 y 13, de la ficha y 79, del libro 8.- Longitud y área de figuras circulares Circunferencia y círculo Arco y sector circular Corona circular Trapecio circular πr A(sec tor) =. αº 360º πr Larco ( ) =. αº 360º Acorona ( ) = πr πr Acorona ( ) = π( R r ) π( R r ) A(trapecio circular) =. αº 360º Ejercicio 14 Calcula el perímetro y área de un sector circular de 100º y 4 cm de radio Página 4

5 Ejercicio 15 Halla la superficie de la zona sombreada de cada figura: a) b) Ejercicio 16 Calcula el área de la zona sombreada, si el triángulo equilátero tiene 8 cm de lado. Hacer actividad 14, de la ficha y 41, 4, 76, 78, 80 y 90, del libro 9.- Figuras semejantes Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y las medidas de ambas son proporcionales. Las figuras F1 y F son semejantes porque los ángulos respectivos son iguales y las medidas son proporcionales, pues: = = = = Esto significa que los lados de la figura F se obtienen multiplicando por los lados de F1 Si dos figuras F1 y F son semejantes, las medidas de la figura F se obtienen multiplicando las correspondientes medidas de F1 por un mismo número positivo r, llamado razón de semejanza. Si r > 1, entonces F es más grande que F1 Si r < 1, entonces F es menor que F1 La razón de semejanza también se puede calcular dividiendo una medida de la figura F entre la correspondiente medida de F1. Razón entre los perímetros de dos figuras semejantes El perímetro de la figura F1 es P = = 14 cm El perímetro de la figura F es P = = 8 cm P 8cm La razón entre los perímetros es = = = razón de semejanza P 14cm En general, la razón entre los perímetros de dos figuras semejantes coincide con la razón de P semejanza, r: r razón de semejanza P = = Página 5

6 Razón entre las áreas de dos figuras semejantes De forma análoga se puede ver que la razón entre las áreas de dos figuras semejantes coincide con el cuadrado de la razón de semejanza, r A : r A = Ejercicio 17 Una foto de 6,5 cm x 10,5 cm se amplía a un ancho de 13 cm. Cuánto mide de largo la foto ampliada? Ejercicio 18 Si los polígonos son semejantes, cuánto mide el perímetro del polígono mayor? Ejercicio 19 Dos figuras F1 y F de áreas 7 cm y 63 cm, respectivamente, son semejantes a) Cuál es la razón de semejanza? b) Si el perímetro de F es 1 cm, cuál es el perímetro de F1? Hacer actividad 15, de la ficha y 8, 49 y 56, del libro 10.- Criterios de semejanza en los triángulos Dos triángulos son semejantes si: 1) Tienen dos ángulos correspondientes iguales ) Tienen los lados correspondientes proporcionales 3) Tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales No es necesario comprobar las tres cosas a la vez Ejercicio 0 Los siguientes triángulos son semejantes. Halla la razón de semejanza y los lados y ángulos que faltan. Ejercicio 1 Razona si los siguientes triángulos son semejantes: Ejercicio Calcula la profundidad, h, del pozo. Hacer actividades 16 y 17, de la ficha y 48 y 85, del libro Página 6

7 11.- Escalas Al realizar una representación, mediante un mapa o plano, las dimensiones se reducen en la misma proporción: Lo que representamos en el mapa o plano es semejante a la realidad. Si un plano está hecho a escala 1 : 50, entonces 1 cm del plano corresponde a 50 cm de la realidad. La razón de semejanza plano-realidad es 50 : 1 = 50 Ejercicio 3 Qué escala se ha utilizado al dibujar un objeto si 1, cm del dibujo equivalen a 3 metros reales? Ejercicio 4 Cuánto medirá sobre un mapa a escala 1 : una calle que tiene 00 m de longitud? Ejercicio 5 En el plano de la vivienda de Rocío, su habitación es de 15 cm x 18 cm. Calcula las dimensiones reales si se sabe que el plano tiene una escala 1 : 1. Ejercicio 6 Una región tiene una superficie real de 3430 km. Cuál será su superficie, en cm, en un mapa a escala 1: ? Hacer actividades 18, 19, 0 y 1, de la ficha 1.- Teorema de Thales Si varias rectas paralelas son cortadas por dos secantes, los segmentos que determinan son proporcionales a b a+ b = = a b a + b Ejercicio 7 Calcula el valor de x: Ejercicio 8 Divide un segmento en 7 partes iguales Triángulos en posición de Thales Dos triángulos están en posición de Thales si tienen un vértice común y los lados opuestos a este vértice son paralelos. Los triángulos ABC y AB C están en posición de Thales. Estos triángulos siempre son semejantes porque tienen los ángulos iguales Ejercicio 9 Calcula la altura del árbol. Ejercicio 30 Calcula el valor de x: Hacer actividades, 3 y 4, de la ficha y 50, del libro Página 7

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