Proporcionalidad en la circunferencia


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1 Pre-universitario Manuel Guerrero Ceballos

2 Clase N 13 MODULO COMPLEMENTRIO Proporcionalidad en la circunferencia

3 Resumen de la clase anterior Cuadriláteros suma de los ángulos interiores 360º suma de los ángulos exteriores 360º trapecios paralelógramos trapezoides Trapecio rectángulo Lados paralelos se llaman bases Lados no paralelos Trapecio isósceles Trapecio escaleno base b ase Me = Ángulos consecutivos en lados no // son suplementarios Deltoide Trapezoide asimétrico

4 1. Elementos de la circunferencia y del círculo 1.1 Definición O Círculo Región del plano limitada por una circunferencia Circunferencia Línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan (igual distancia) de un punto fijo llamado centro.

5 1. Elementos de la circunferencia y del círculo 1.2 Radio (r) y diámetro (d) O: centro de la circunferencia r OB: radio = r r O r Segmento que une el centro de la B circunferencia con cualquier punto de d ella. B: diámetro = d = 2r Es la línea recta que pasa por circunferencia. el centro y une dos puntos opuestos de la El diámetro divide a la circunferencia en 2 semicircunferencias, es decir, rco B = rco B

6 1. Elementos de la circunferencia y del círculo 1.3 Cuerda y secante B: Cuerda Segmento que une dos puntos de la circunferencia. distintos B El diámetro es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia y tiene la mayor longitud. B: Secante Recta que intersecta a la circunferencia en 2 puntos, formando una cuerda.

7 1. Elementos de la circunferencia y del círculo 1.4 Tangente Recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia. Este punto es llamado punto de tangencia o punto tangencial. O r O: centro de la circunferencia O: radio : Punto de tangencia L: Tangente L O L

8 1. Elementos de la circunferencia y del círculo 1.5 rco de circunferencia Corresponde a una parte de la circunferencia. Su lectura es en sentido anti-horario (contrario a los punteros del reloj). B B : arco de circunferencia Los puntos y B de la circunferencia, determinan el arco B.

9 1. Elementos de la circunferencia y del círculo 1.6 Sector y segmento circular O: centro de la circunferencia r : radio O r r B Sector circular B : arco de circunferencia Es una fracción del área del círculo determinada por dos radios y un arco. O r B r Segmento circular O : centro de la circunferencia B : cuerda B : arco de circunferencia Es una fracción del área del círculo, determinada por una cuerda y un arco.

10 2. Áreas y perímetros 2.1 Área del círculo Si r es el radio, entonces: Área círculo = r 2 Ejemplo: Determinar el área del círculo cuyo diámetro mide 20 cm. Si el diámetro mide 20 cm, entonces el radio mide 10 cm. Luego, el área del círculo es: = 10 2 = 100 cm 2

11 2. Áreas y perímetros 2.2 Perímetro de la circunferencia Si r es el radio y d el diámetro, entonces: Perímetro = 2 r ó Perímetro = d Ejemplo: Determinar el perímetro de una 15 cm. circunferencia cuyo radio mide P = 2 15 P = 30 cm.

12 2. Áreas y perímetros 2.3 Longitud de un arco de circunferencia O: r : centro de la circunferencia radio B : arco de circunferencia O r : ángulo del centro r B Longitud de arco = B = 2 r 360 Un arco corresponde a una parte de la circunferencia. Luego, es una fracción del perímetro (2 r) o del arco completo (360 ). En ambos casos, su medida depende del ángulo del centro que lo determina ( ).

13 2. Áreas y perímetros 2.4 Área y perímetro de un sector circular sector = r O r r B P sector = B + 2r P = 2 r + 2r sector 360 O: centro de r : radio la circunferencia B : arco de circunferencia : ángulo del centro

14 2. Áreas y perímetros 2.5 Perímetro de un segmento circular P segmento = B + B r O r B P segmento = 2 r B Segmento circular O: centro de la circunferencia B : cuerda B : arco de circunferencia

15 Ejemplo Determinar el área y perímetro de la zona achurada de la figura. O: centro de la circunferencia. sector = O 80º 4 B sector = sector = P sector = P = sector 9

16 3. Ángulos en la circunferencia 3.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito. Ángulo del centro: Tiene el vértice en el centro de arco que subtiende. Ejemplo: Si el arco B = 40º, entonces = 40º la circunferencia y mide lo mismo que el O 40º B 40 O: centro de la circunferencia

17 3. Ángulos en la circunferencia 3.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito B. Ángulo inscrito: Tiene el vértice en la circunferencia y mide la mitad del arco que subtiende. Ejemplo: Si el arco B = 50º, entonces = 25º 25 B 50

18 3. Ángulos en la circunferencia 3.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito Corolario: Si un ángulo inscrito y un ángulo del centro subtienden el mismo arco, entonces el ángulo del centro es el doble del ángulo inscrito. O centro de la circunferencia demás, se cumple que: 2 B 2 O 2

19 Ejemplo En la figura, si el ángulo del centro OB mide 70, entonces el ángulo inscrito CB mide 35. C 35º O 70º B O: centro de la circunferencia

20 3. Ángulos en la circunferencia 3.2 Igualdad de ángulos inscritos Si dos o más ángulos inscritos subtienden el mismo arco, entonces son iguales.

21 3. Ángulos en la circunferencia 3.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo con hipotenusa igual al diámetro.. O 180 O: centro de la circunferencia

22 3. Ángulos en la circunferencia 3.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia En todo cuadrilátero son suplementarios. inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos Ejemplo: 2º 1 0º 7 0º 8º δ = 180 β = 180

23 3. Ángulos en la circunferencia 3.5 Teorema del ángulo exterior Si es ángulo exterior de la circunferencia, entonces: D C B = B CD 2

24 3. Ángulos en la circunferencia 3.6 Teorema del ángulo interior Si es ángulo interior de la circunferencia, entonces: B D C = B + CD 2

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